Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 100 mm e diametro della gola di 60 mm. La pressione all’ingresso è 11 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 11 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un tubo flessibile con diametro interno di 50 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 0,5 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 1,5 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la portata Q.

d = 50 mmz_C = +0,5 mz₂ = −1,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,4 m/s in un tubo orizzontale lungo 400 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 2,4 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 8 L/s?

Q = 8 L/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 58 m mentre il suo albero assorbe 31,6 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 40 L/sH = 58 mP_shaft = 31,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 11 m più in alto. Il tubo è lungo 400 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 70%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 75 L/sΔz = 11 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in calcestruzzo grezzo ha una larghezza di fondo di 4,5 m e una scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 2,3 m. n di Manning = 0,014 e la pendenza del fondo è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.

b = 4,5 my = 2,3 mz = 1n = 0,014S = 0,001

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in terra pulita largo 1,5 m deve convogliare 2,4 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,7 m. n di Manning = 0,022. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 2,4 m³/sb = 1,5 my = 1,7 mn = 0,022

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 121,4 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·4,5 = 121,4 kN

Risposta

F = 121,4 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 132 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,75·7,5 = 132 kN

Risposta

F = 132 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 14,21 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuità

v₁ = v₂·(60/100)² = 0,36·v₂

Bernoulli tra ingresso e gola

Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·11000/(1000·(1 − 0,1296))) = 5,027 m/s

v₁ = 1,81 m/s

Portata

Q = A₂·v₂ = 0,002827·5,027 = 0,01421 m³/s = 14,21 L/s

Risposta

Q = 14,21 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 10,65 L/s

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·1,5) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s

Portata

Q = A·v = 0,001963·5,425 = 0,01065 m³/s = 10,65 L/s

Risposta

Q = 10,65 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 322,6 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(400/0,1)·2,4²/(2·9,81) = 32,88 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·32,88 = 322560 Pa = 322,6 kPa

Risposta

Δp = 322,6 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 1,565 m

Velocità

V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·150/0,1 = 22,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Perdita di carico totale

h_f = 22,5·0,05288 = 1,19 m

h_m = 7,1·0,05288 = 0,3755 m

Δz = h_f + h_m = 1,565 m

Risposta

Δz = 1,565 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 72,02 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·58 = 22,76 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 22,76/31,6 = 72,02%

Risposta

η = 72,02%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 16,56 kW

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (32 + 8)·0,119 = 4,759 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 11 + 4,759 = 15,76 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·15,76/0,7 = 16,56 kW

Risposta

P_shaft = 16,56 kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 44,65 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1·2,3)·2,3 = 15,64 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·2,3·√(1 + 1²) = 11,01 m

R = A/P = 1,421 m

Velocità

V = (1/0,014)·1,421^2/3·0,001^1/2 = 2,855 m/s

Portata

Q = A·V = 15,64·2,855 = 44,65 m³/s

Risposta

Q = 44,65 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,001024 m/m

Geometria

A = b·y = 1,5·1,7 = 2,55 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1,7 = 4,9 m

R = A/P = 0,5204 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·2,4/(2,55·0,647) = 0,032

S = 0,032² = 0,001024

Risposta

S = 0,001024

Questo corrisponde a un dislivello di 1,024 m per chilometro.

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