Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Un tubo di Pitot statico in una galleria del vento indica una differenza di 1200 Pa tra la pressione di ristagno e la pressione statica. La densità dell’aria è 1,2 kg/m³. Trova la velocità dell’aria v.

p₀ − p = 1200 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 100 mm e una pressione relativa di 90 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 40 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 90 kPa (relativa)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,7 m/s in un tubo orizzontale lungo 500 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 2,7 m/sL = 500 mD = 75 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 17 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 17 mL = 100 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 60 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 52 m. Il rendimento della pompa è del 72% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 90%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 60 L/sH = 52 mη_pump = 72%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 10 m più in alto. Il tubo è lungo 500 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 100 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 80 L/sΔz = 10 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6p_tank = 100 kPa

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 1200 mm scorre mezzo pieno. n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,001

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale trapezoidale in terra rivestita d’erba con larghezza di fondo di 1 m e scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 2,8 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,2 m. n di Manning = 0,03. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 2,8 m³/sb = 1 my = 1,2 mz = 1n = 0,03

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 110,4 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·5 = 110,4 kN

Risposta

F = 110,4 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 116,5 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3·4,5 = 116,5 kN

Risposta

F = 116,5 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: v = 44,72 m/s

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Bernoulli fino al punto di ristagno

Il flusso si arresta alla punta, quindi la sua energia cinetica si manifesta come pressione aggiuntiva.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1200/1,2) = 44,72 m/s

Risposta

v = 44,72 m/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: H = 9,415 m

Velocità di uscita

β = 40/100 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·90000/(1000·0,9744)) = 13,59 m/s

Altezza del getto

Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.

H = v₂²/(2g) = 13,59²/(2·9,81) = 9,415 m

Risposta

H = 9,415 m

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 729 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(500/0,075)·2,7²/(2·9,81) = 74,31 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·74,31 = 729000 Pa = 729 kPa

Risposta

Δp = 729 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 281,5 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,025·100/0,3 = 8,333

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

17 = (8,333 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·17/21,03) = 3,982 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 3,982·0,07069 = 0,2815 m³/s = 281,5 L/s

Risposta

Q = 281,5 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 47,23 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·52 = 30,61 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 30,61/0,72 = 42,51 kW

Potenza elettrica

P_el = 42,51/0,9 = 47,23 kW

Risposta

P_el = 47,23 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 37,05 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (45 + 6)·0,3305 = 16,86 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 10,19 + 16,86 = 37,05 m

Risposta

H = 37,05 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 0,6164 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m

Velocità

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,001^1/2 = 1,09 m/s

Portata

Q = A·V = 0,5655·1,09 = 0,6164 m³/s

Risposta

Q = 0,6164 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,001997 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·1,2)·1,2 = 2,64 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,2·√(1 + 1²) = 4,394 m

R = A/P = 0,6008 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·2,8/(2,64·0,712) = 0,04469

S = 0,04469² = 0,001997

Risposta

S = 0,001997

Questo corrisponde a un dislivello di 1,997 m per chilometro.

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