Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 30 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 2,5 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,64. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

d = 30 mmh = 2,5 mC_d = 0,64g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un tubo flessibile con diametro interno di 50 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 1 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 3,5 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la pressione assoluta p_C nel punto C. La pressione atmosferica è 101,3 kPa.

d = 50 mmz_C = +1 mz₂ = −3,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 5 L/s in un tubo lungo 200 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 5 L/sL = 200 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 100 m con diametro interno di 200 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,015) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 66 m. Il rendimento della pompa è del 65% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 94%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 40 L/sH = 66 mη_pump = 65%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 6 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 30 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,02ΣK = 8

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale rettangolare in calcestruzzo grezzo è largo 5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 0,5 m. n di Manning = 0,014 e la pendenza del fondo è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.

b = 5 my = 0,5 mn = 0,014S = 0,001

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in ghiaia largo 1,5 m deve convogliare 2,9 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,4 m. n di Manning = 0,025. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 2,9 m³/sb = 1,5 my = 1,4 mn = 0,025

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 55,18 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·1,5 = 55,18 kN

Risposta

F = 55,18 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 389,4 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3,5·9 = 389,4 kN

Risposta

F = 389,4 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 3,168 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità ideale del getto

√(2gh) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Portata reale

Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,64·0,0007069·7,004 = 0,003168 m³/s = 3,168 L/s

Risposta

Q = 3,168 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p_C = 57,15 kPa

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Bernoulli dal pelo libero a C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(8,287²/2 + 9,81·1)/1000 = 101,3 − 44,15 = 57,15 kPa

Risposta

p_C = 57,15 kPa

Se questa pressione scende alla tensione di vapore dell’acqua, il sifone smette di funzionare.

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 3,83 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,005/0,004418 = 1,132 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,132²/(2·9,81) = 0,06529 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,075)·1,132²/(2·9,81) = 3,83 m

Risposta

h_f = 3,83 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 3,457 m

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·100/0,2 = 7,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 7,5 + 3,4)·0,2905 = 3,457 m

Risposta

H = 3,457 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 42,39 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·66 = 25,9 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 25,9/0,65 = 39,84 kW

Potenza elettrica

P_el = 39,84/0,94 = 42,39 kW

Risposta

P_el = 42,39 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 10,11 m

Velocità

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,1469 = 4,113 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 6 + 4,113 = 10,11 m

Risposta

H = 10,11 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 3,15 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = b·y = 5·0,5 = 2,5 m²

P = b + 2y = 5 + 2·0,5 = 6 m

R = A/P = 0,4167 m

Velocità

V = (1/0,014)·0,4167^2/3·0,001^1/2 = 1,26 m/s

Portata

Q = A·V = 2,5·1,26 = 3,15 m³/s

Risposta

Q = 3,15 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,003099 m/m

Geometria

A = b·y = 1,5·1,4 = 2,1 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1,4 = 4,3 m

R = A/P = 0,4884 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·2,9/(2,1·0,6202) = 0,05567

S = 0,05567² = 0,003099

Risposta

S = 0,003099

Questo corrisponde a un dislivello di 3,099 m per chilometro.

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