Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 140 kPa e la velocità è 2 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 140 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 200 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 50 mm, 3,5 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la velocità del getto v. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 200 kPa (relativa)h = 3,5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 8 L/s in un tubo lungo 400 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 8 L/sL = 400 mD = 75 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 26 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 26 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 32 m. Il rendimento della pompa è del 70% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 92%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 50 L/sH = 32 mη_pump = 70%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 9 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 80%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 75 L/sΔz = 9 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 6η = 80%

P_shaft = kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in terra rivestita d’erba ha una larghezza di fondo di 1 m e una scarpa delle sponde di 1,5:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 0,5 m. n di Manning = 0,03 e la pendenza del fondo è S = 0,004. Trova la portata Q in m³/s.

b = 1 my = 0,5 mz = 1,5n = 0,03S = 0,004

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in ghiaia largo 2,5 m deve convogliare 14 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 2,3 m. n di Manning = 0,025. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 14 m³/sb = 2,5 my = 2,3 mn = 0,025

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 88,29 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·2 = 88,29 kN

Risposta

F = 88,29 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 3,308 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·2,25 = 71,74 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1,5³/12 = 0,4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 0,4219/(3,25·2,25) = 3,308 m

Risposta

y_cp = 3,308 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 110 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(150/75)² = 8 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 8²)/1000 = −30 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 140 + (−30) = 110 kPa

Risposta

p₂ = 110 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: v = 21,65 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli dal pelo libero al getto

v = √(2·(200000/1000 + 9,81·3,5)) = 21,65 m/s

Risposta

v = 21,65 m/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 26,74 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,008/0,004418 = 1,811 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,811²/(2·9,81) = 0,1671 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(400/0,075)·1,811²/(2·9,81) = 26,74 m

Risposta

h_f = 26,74 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 416,4 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·200/0,3 = 10

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

26 = (10 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·26/14,7) = 5,891 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 5,891·0,07069 = 0,4164 m³/s = 416,4 L/s

Risposta

Q = 416,4 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 24,37 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·32 = 15,7 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 15,7/0,7 = 22,42 kW

Potenza elettrica

P_el = 22,42/0,92 = 24,37 kW

Risposta

P_el = 24,37 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 11,56 kW

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 6)·0,119 = 3,569 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 9 + 3,569 = 12,57 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·12,57/0,8 = 11,56 kW

Risposta

P_shaft = 11,56 kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 0,8489 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·0,5)·0,5 = 0,875 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0,5·√(1 + 1,5²) = 2,803 m

R = A/P = 0,3122 m

Velocità

V = (1/0,03)·0,3122^2/3·0,004^1/2 = 0,9702 m/s

Portata

Q = A·V = 0,875·0,9702 = 0,8489 m³/s

Risposta

Q = 0,8489 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,004908 m/m

Geometria

A = b·y = 2,5·2,3 = 5,75 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·2,3 = 7,1 m

R = A/P = 0,8099 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·14/(5,75·0,8688) = 0,07006

S = 0,07006² = 0,004908

Risposta

S = 0,004908

Questo corrisponde a un dislivello di 4,908 m per chilometro.

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