Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 4 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 200 mm a 100 mm. Nel tratto largo la pressione è 360 kPa e la velocità è 0,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 360 kPav1 = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
Un tubo flessibile con diametro interno di 20 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 1 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 5 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la pressione assoluta pC nel punto C. La pressione atmosferica è 101,3 kPa.
d = 20 mmzC = +1 mz2 = −5 mg = 9,81 m/s²patm = 101,3 kPa
pC = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una velocità media di 1,1 m/s in un tubo lungo 800 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
V = 1,1 m/sL = 800 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 10 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 0,2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 10 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 26 m mentre il suo albero assorbe 9,8 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 30 L/sH = 26 mPshaft = 9,8 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 15 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 12 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 15 L/sΔz = 12 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,015ΣK = 6
H = m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale rettangolare in calcestruzzo grezzo è largo 3 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,5 m. n di Manning = 0,014 e la pendenza del fondo è S = 0,0008. Trova la portata Q in m³/s.
b = 3 my = 1,5 mn = 0,014S = 0,0008
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale trapezoidale in muratura in mattoni con larghezza di fondo di 5 m e scarpa delle sponde di 2:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 9,9 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 0,8 m. n di Manning = 0,015. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 9,9 m³/sb = 5 my = 0,8 mz = 2n = 0,015
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 69,9 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,75·1,5 = 69,9 kN
Risposta
F = 69,9 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 3,714 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m
A = H·b = 3·1 = 3 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,5·3 = 129,8 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2,25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,5 + 2,25/(3,5·3) = 3,714 m
Risposta
ycp = 3,714 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 355,8 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(200/100)² = 3 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 3²)/1000 = −4,219 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 360 + (−4,219) = 355,8 kPa
Risposta
p2 = 355,8 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: pC = 42,44 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocità nel tubo
Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.
v = √(2g·5) = √(2·9,81·5) = 9,905 m/s
Bernoulli dal pelo libero a C
patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101,3 − 1000·(9,905²/2 + 9,81·1)/1000 = 101,3 − 58,86 = 42,44 kPa
Risposta
pC = 42,44 kPa
Se questa pressione scende alla tensione di vapore dell’acqua, il sifone smette di funzionare.
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 11,84 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Altezza cinetica
V²/(2g) = 1,1²/(2·9,81) = 0,06167 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(800/0,075)·1,1²/(2·9,81) = 11,84 m
Risposta
hf = 11,84 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 100,7 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,022·150/0,2 = 16,5
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
10 = (16,5 + 2,6)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·10/19,1) = 3,205 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 3,205·0,03142 = 0,1007 m³/s = 100,7 L/s
Risposta
Q = 100,7 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 78,08 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·26 = 7,652 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 7,652/9,8 = 78,08%
Risposta
η = 78,08%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 15,9 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0,1859 = 3,904 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.
H = Δz + hL = 12 + 3,904 = 15,9 m
Risposta
H = 15,9 m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 7,505 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 3·1,5 = 4,5 m²
P = b + 2y = 3 + 2·1,5 = 6 m
R = A/P = 0,75 m
Velocità
V = (1/0,014)·0,752/3·0,00081/2 = 1,668 m/s
Portata
Q = A·V = 4,5·1,668 = 7,505 m³/s
Risposta
Q = 7,505 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,001511 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (5 + 2·0,8)·0,8 = 5,28 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·0,8·√(1 + 2²) = 8,578 m
R = A/P = 0,6155 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,015·9,9/(5,28·0,7236) = 0,03887
S = 0,03887² = 0,001511
Risposta
S = 0,001511
Questo corrisponde a un dislivello di 1,511 m per chilometro.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering