Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. Nel tratto largo la pressione è 400 kPa e la velocità è 2,25 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 400 kPav₁ = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un venturimetro orizzontale (ingresso 150 mm, gola 75 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 230 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,95. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmΔh = 230 mmC_d = 0,95ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 2,5 m/s in un tubo lungo 400 m con diametro interno di 150 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 2,5 m/sL = 400 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 0,2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 60% eroga 150 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 38 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 150 L/sH = 38 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 21 m più in alto. Il tubo è lungo 400 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 50 L/sΔz = 21 mL = 400 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale rettangolare in muratura in mattoni è largo 1,5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,4 m. n di Manning = 0,015 e la pendenza del fondo è S = 0,004. Trova la portata Q in m³/s.

b = 1,5 my = 1,4 mn = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in terra pulita largo 3 m deve convogliare 5,2 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,9 m. n di Manning = 0,022. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 5,2 m³/sb = 3 my = 1,9 mn = 0,022

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 79,71 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,25·2,5 = 79,71 kN

Risposta

F = 79,71 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 2,333 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2,25·4,5 = 125,2 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 0,8438/(2,25·4,5) = 2,333 m

Risposta

y_cp = 2,333 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 362 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(150/75)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 9²)/1000 = −37,97 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 400 + (−37,97) = 362 kPa

Risposta

p₂ = 362 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 32,69 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Differenza di pressione dal manometro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,23 = 28429 Pa

Velocità nella gola

Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.

β = 75/150 = 0,5

v₂ = √(2·28429/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,788 m/s

Portata reale

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,95·0,004418·7,788 = 0,03269 m³/s = 32,69 L/s

Risposta

Q = 32,69 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 16,99 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,5²/(2·9,81) = 0,3186 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(400/0,15)·2,5²/(2·9,81) = 16,99 m

Risposta

h_f = 16,99 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 2,403 m

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·200/0,25 = 17,6

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Perdita di carico totale

h_f = 17,6·0,119 = 2,094 m

h_m = 2,6·0,119 = 0,3094 m

Δz = h_f + h_m = 2,403 m

Risposta

Δz = 2,403 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 93,2 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·38 = 55,92 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 55,92/0,6 = 93,2 kW

Risposta

P_shaft = 93,2 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 39,77 m

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 6)·0,408 = 18,77 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 21 + 18,77 = 39,77 m

Risposta

H = 39,77 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 5,491 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = b·y = 1,5·1,4 = 2,1 m²

P = b + 2y = 1,5 + 2·1,4 = 4,3 m

R = A/P = 0,4884 m

Velocità

V = (1/0,015)·0,4884^2/3·0,004^1/2 = 2,615 m/s

Portata

Q = A·V = 2,1·2,615 = 5,491 m³/s

Risposta

Q = 5,491 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,0005097 m/m

Geometria

A = b·y = 3·1,9 = 5,7 m²

P = b + 2y = 3 + 2·1,9 = 6,8 m

R = A/P = 0,8382 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·5,2/(5,7·0,889) = 0,02258

S = 0,02258² = 0,0005097

Risposta

S = 0,0005097

Questo corrisponde a un dislivello di 0,5097 m per chilometro.

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