Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 3 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 100 mm e diametro della gola di 60 mm. La pressione all’ingresso è 29 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 29 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 100 mm a 75 mm salendo di 1 m. Nella sezione 1 la pressione è 390 kPa e la velocità è 1 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 390 kPav₁ = 1 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 6 L/s in un tubo lungo 500 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 6 L/sL = 500 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 400 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 25 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 38 m. Il rendimento della pompa è del 78% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 94%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 25 L/sH = 38 mη_pump = 78%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 9 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 75 L/sΔz = 9 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 8

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in terra rivestita d’erba ha una larghezza di fondo di 2,5 m e una scarpa delle sponde di 2:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,1 m. n di Manning = 0,03 e la pendenza del fondo è S = 0,004. Trova la portata Q in m³/s.

b = 2,5 my = 1,1 mz = 2n = 0,03S = 0,004

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale trapezoidale in terra pulita con larghezza di fondo di 3,5 m e scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 7,5 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,5 m. n di Manning = 0,022. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 7,5 m³/sb = 3,5 my = 1,5 mz = 1n = 0,022

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 88,29 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Risposta

F = 88,29 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 4,373 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·2,5 = 104,2 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1·2,5³/12 = 1,302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,25 + 1,302/(4,25·2,5) = 4,373 m

Risposta

y_cp = 4,373 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 23,08 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuità

v₁ = v₂·(60/100)² = 0,36·v₂

Bernoulli tra ingresso e gola

Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·29000/(1000·(1 − 0,1296))) = 8,163 m/s

v₁ = 2,939 m/s

Portata

Q = A₂·v₂ = 0,002827·8,163 = 0,02308 m³/s = 23,08 L/s

Risposta

Q = 23,08 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 379,1 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(100/75)² = 1,778 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 1,778²)/1000 = −1,08 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·1/1000 = 9,81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 390 + (−1,08) − 9,81 = 379,1 kPa

Risposta

p₂ = 379,1 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 13,79 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,006/0,004418 = 1,358 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,358²/(2·9,81) = 0,09401 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(500/0,075)·1,358²/(2·9,81) = 13,79 m

Risposta

h_f = 13,79 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 2,106 m

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·400/0,3 = 24

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Perdita di carico totale

h_f = 24·0,05738 = 1,377 m

h_m = 12,7·0,05738 = 0,7287 m

Δz = h_f + h_m = 2,106 m

Risposta

Δz = 2,106 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 12,71 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·38 = 9,319 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 9,319/0,78 = 11,95 kW

Potenza elettrica

P_el = 11,95/0,94 = 12,71 kW

Risposta

P_el = 12,71 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 15,68 m

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,2905 = 6,681 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 9 + 6,681 = 15,68 m

Risposta

H = 15,68 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 8,567 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·1,1)·1,1 = 5,17 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,1·√(1 + 2²) = 7,419 m

R = A/P = 0,6968 m

Velocità

V = (1/0,03)·0,6968^2/3·0,004^1/2 = 1,657 m/s

Portata

Q = A·V = 5,17·1,657 = 8,567 m³/s

Risposta

Q = 8,567 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,000505 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1·1,5)·1,5 = 7,5 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,5·√(1 + 1²) = 7,743 m

R = A/P = 0,9687 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·7,5/(7,5·0,979) = 0,02247

S = 0,02247² = 0,000505

Risposta

S = 0,000505

Questo corrisponde a un dislivello di 0,505 m per chilometro.

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