Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 1 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 15 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. La pressione nella sezione stretta è 180 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 15 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 180 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 190 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 25 mm, 5 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la velocità del getto v. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 190 kPa (relativa)h = 5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1,8 m/s in un tubo orizzontale lungo 400 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 1,8 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 5 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 5 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 150 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 26 m. Il rendimento della pompa è del 60% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 95%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 150 L/sH = 26 mη_pump = 60%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 7 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 150 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 6p_tank = 150 kPa

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in terra pulita ha una larghezza di fondo di 3 m e una scarpa delle sponde di 2:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 0,6 m. n di Manning = 0,022 e la pendenza del fondo è S = 0,004. Trova la portata Q in m³/s.

b = 3 my = 0,6 mz = 2n = 0,022S = 0,004

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in terra rivestita d’erba largo 2,5 m deve convogliare 6,8 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,5 m. n di Manning = 0,03. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 6,8 m³/sb = 2,5 my = 1,5 mn = 0,03

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 82,77 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN

Risposta

F = 82,77 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 25,9 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1·3 = 25,9 kN

Risposta

F = 25,9 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 185,4 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,015/0,01767 = 0,8488 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,015/0,004418 = 3,395 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 180 + ½·1000·(3,395² − 0,8488²)/1000 = 180 + 5,404 = 185,4 kPa

Risposta

p₁ = 185,4 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: v = 21,87 m/s

Bernoulli dal pelo libero al getto

v = √(2·(190000/1000 + 9,81·5)) = 21,87 m/s

Risposta

v = 21,87 m/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 72,58 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(400/0,25)·1,8²/(2·9,81) = 7,398 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·7,398 = 72576 Pa = 72,58 kPa

Risposta

Δp = 72,58 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 77,91 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·150/0,2 = 11,25

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

5 = (11,25 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·5/15,95) = 2,48 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 2,48·0,03142 = 0,07791 m³/s = 77,91 L/s

Risposta

Q = 77,91 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 67,12 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·26 = 38,26 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 38,26/0,6 = 63,77 kW

Potenza elettrica

P_el = 63,77/0,95 = 67,12 kW

Risposta

P_el = 67,12 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 32,54 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 6)·0,3305 = 10,25 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 7 + 15,29 + 10,25 = 32,54 m

Risposta

H = 32,54 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 4,213 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3 + 2·0,6)·0,6 = 2,52 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·0,6·√(1 + 2²) = 5,683 m

R = A/P = 0,4434 m

Velocità

V = (1/0,022)·0,4434^2/3·0,004^1/2 = 1,672 m/s

Portata

Q = A·V = 2,52·1,672 = 4,213 m³/s

Risposta

Q = 4,213 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,004931 m/m

Geometria

A = b·y = 2,5·1,5 = 3,75 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·1,5 = 5,5 m

R = A/P = 0,6818 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·6,8/(3,75·0,7747) = 0,07022

S = 0,07022² = 0,004931

Risposta

S = 0,004931

Questo corrisponde a un dislivello di 4,931 m per chilometro.

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