Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 75 mm a 40 mm. Nel tratto largo la pressione è 120 kPa e la velocità è 3 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 120 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 100 mm e una pressione relativa di 40 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 30 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 40 kPa (relativa)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1,7 m/s in un tubo orizzontale lungo 400 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 1,7 m/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,018) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 82% eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 48 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 80 L/sH = 48 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 23 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 50 L/sΔz = 23 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale rettangolare in terra rivestita d’erba è largo 2,5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 2,4 m. n di Manning = 0,03 e la pendenza del fondo è S = 0,0008. Trova la portata Q in m³/s.

b = 2,5 my = 2,4 mn = 0,03S = 0,0008

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale trapezoidale in ghiaia con larghezza di fondo di 1 m e scarpa delle sponde di 1,5:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 7 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,2 m. n di Manning = 0,025. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 7 m³/sb = 1 my = 1,2 mz = 1,5n = 0,025

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 117,7 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Risposta

F = 117,7 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 1,556 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,5·1,5 = 27,81 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 0,125/(1,5·1,5) = 1,556 m

Risposta

y_cp = 1,556 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 68,88 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/40)² = 10,55 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 10,55²)/1000 = −51,12 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 120 + (−51,12) = 68,88 kPa

Risposta

p₂ = 68,88 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: H = 4,111 m

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità di uscita

β = 30/100 = 0,3

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·40000/(1000·0,9919)) = 8,981 m/s

Altezza del getto

Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.

H = v₂²/(2g) = 8,981²/(2·9,81) = 4,111 m

Risposta

H = 4,111 m

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 53,95 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(400/0,3)·1,7²/(2·9,81) = 5,499 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·5,499 = 53947 Pa = 53,95 kPa

Risposta

Δp = 53,95 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 5,817 m

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·150/0,2 = 13,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 = 3,1

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 13,5 + 3,1)·0,3305 = 5,817 m

Risposta

H = 5,817 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 45,94 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·48 = 37,67 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 37,67/0,82 = 45,94 kW

Risposta

P_shaft = 45,94 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 33,61 m

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 8)·0,408 = 10,61 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 23 + 10,61 = 33,61 m

Risposta

H = 33,61 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 4,964 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = b·y = 2,5·2,4 = 6 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·2,4 = 7,3 m

R = A/P = 0,8219 m

Velocità

V = (1/0,03)·0,8219^2/3·0,0008^1/2 = 0,8273 m/s

Portata

Q = A·V = 6·0,8273 = 4,964 m³/s

Risposta

Q = 4,964 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,005014 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1,5·1,2)·1,2 = 3,36 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1,2·√(1 + 1,5²) = 5,327 m

R = A/P = 0,6308 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·7/(3,36·0,7355) = 0,07081

S = 0,07081² = 0,005014

Risposta

S = 0,005014

Questo corrisponde a un dislivello di 5,014 m per chilometro.

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