Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 1 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 75 mm a 50 mm. Nel tratto largo la pressione è 300 kPa e la velocità è 1,25 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 75 mmd2 = 50 mmp1 = 300 kPav1 = 1,25 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
Un venturimetro orizzontale (ingresso 200 mm, gola 150 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 70 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,95. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².
d1 = 200 mmd2 = 150 mmΔh = 70 mmCd = 0,95ρHg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una velocità media di 1,5 m/s in un tubo lungo 200 m con diametro interno di 150 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
V = 1,5 m/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 23 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 23 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa con rendimento del 78% eroga 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 36 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.
Q = 30 L/sH = 36 mη = 78%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 60 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 12 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 85%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Q = 60 L/sΔz = 12 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6η = 85%
Pshaft = kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale trapezoidale in calcestruzzo lisciato ha una larghezza di fondo di 3,5 m e una scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,5 m. n di Manning = 0,012 e la pendenza del fondo è S = 0,002. Trova la portata Q in m³/s.
b = 3,5 my = 1,5 mz = 1n = 0,012S = 0,002
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 300 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 1,2 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).
D = 300 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 14,71 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·1 = 14,71 kN
Risposta
F = 14,71 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 1,857 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·4,5 = 77,25 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1,75 + 0,8438/(1,75·4,5) = 1,857 m
Risposta
ycp = 1,857 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 296,8 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,25·(75/50)² = 2,813 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,25² − 2,813²)/1000 = −3,174 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 300 + (−3,174) = 296,8 kPa
Risposta
p2 = 296,8 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 84,47 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Differenza di pressione dal manometro
Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,07 = 8652 Pa
Velocità nella gola
Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.
β = 150/200 = 0,75
v2 = √(2·8652/(1000·(1 − 0,3164))) = 5,031 m/s
Portata reale
Q = Cd·A2·v2 = 0,95·0,01767·5,031 = 0,08447 m³/s = 84,47 L/s
Risposta
Q = 84,47 L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 3,058 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Altezza cinetica
V²/(2g) = 1,5²/(2·9,81) = 0,1147 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(200/0,15)·1,5²/(2·9,81) = 3,058 m
Risposta
hf = 3,058 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 35,25 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,018·100/0,1 = 18
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
23 = (18 + 4,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·23/22,4) = 4,488 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 4,488·0,007854 = 0,03525 m³/s = 35,25 L/s
Risposta
Q = 35,25 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 13,58 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·36 = 10,59 kW
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/η = 10,59/0,78 = 13,58 kW
Risposta
Pshaft = 13,58 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 11,66 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0,1859 = 4,834 m
Prevalenza della pompa
H = Δz + hL = 12 + 4,834 = 16,83 m
Potenza all’albero
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·16,83/0,85 = 11,66 kW
Risposta
Pshaft = 11,66 kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 27,36 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1·1,5)·1,5 = 7,5 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,5·√(1 + 1²) = 7,743 m
R = A/P = 0,9687 m
Velocità
V = (1/0,012)·0,96872/3·0,0021/2 = 3,649 m/s
Portata
Q = A·V = 7,5·3,649 = 27,36 m³/s
Risposta
Q = 27,36 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,007694 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Raggio idraulico
R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m
Risolvi Manning rispetto a S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,1778)² = 0,007694
Risposta
S = 0,007694
Questo corrisponde a un dislivello di 7,694 m per chilometro.
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