Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità
p = ρgh
Forza su una parete verticale
F = ρg·hc·A
Centro di spinta
yp = yc + Ic/(ycA)
Rettangolo
Ic = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità
A1v1 = A2v2
Bernoulli
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Portata
Q = A·v
Area del cerchio
A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto
laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media
V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate
hm = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K
imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione
Δp = ρ·g·hf
Due serbatoi aperti
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/ηpump
Potenza elettrica
Pel = Pshaft/ηmotor
Prevalenza della pompa
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Perdite dell’impianto
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Portata
Q = A·V
Raggio idraulico
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo
A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
R = D/4
Pendenza richiesta
S = (n·Q/(A·R2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia
paratoiad = 2 mH = 2,5 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
paratoiad = 4 mH = 1,5 m

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 4 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 4 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
v = ?p0​pp0​ − p = 30 kPapunto di ristagno

Un tubo di Pitot statico in una condotta d’acqua indica una differenza di 30 kPa tra la pressione di ristagno e la pressione statica. Trova la velocità dell’acqua v alla punta.

p0 − p = 30 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
12d1​ = 200 mm, p1​ = 320 kPad2​ = 100 mm, p2​ = ?Δz = 3 m

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 200 mm a 100 mm salendo di 3 m. Nella sezione 1 la pressione è 320 kPa e la velocità è 3 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.

d1 = 200 mmd2 = 100 mmp1 = 320 kPav1 = 3 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
V = 1,5 m/sD = 250 mmL = 100 mf = 0,028

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1,5 m/s in un tubo orizzontale lungo 100 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 1,5 m/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
K = 5Δz = ?L = 200 m, D = 200 mm, f = 0,022× curva (K = 0,3)

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 40 L/s?

Q = 40 L/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
PQ = 10 L/sH = 18 m

In una prova, una pompa eroga 10 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 18 m mentre il suo albero assorbe 2,2 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 10 L/sH = 18 mPshaft = 2,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
PQ = 80 L/sΔz = 7 mL = 150 m, D = 200 mm, f = 0,025, ΣK = 8

Una pompa trasferisce 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 7 m più in alto. Il tubo è lungo 150 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 70%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.

Q = 80 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8η = 70%
Pshaft = kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
b = 2,5 my = 2,5 mn = 0,012, S = 0,0008

Un canale rettangolare in calcestruzzo lisciato è largo 2,5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 2,5 m. n di Manning = 0,012 e la pendenza del fondo è S = 0,0008. Trova la portata Q in m³/s.

b = 2,5 my = 2,5 mn = 0,012S = 0,0008
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
D = 200 mmn = 0,013, V = 0,9 m/s

Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 200 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 0,9 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).

D = 200 mmn = 0,013V = 0,9 m/s
S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 79,71 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
paratoiad = 2 mH = 2,5 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3,25·2,5 = 79,71 kN

Risposta

F = 79,71 kN
2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 264,2 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

yc = d + H/2 = 4 + 1,5/2 = 4,75 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
paratoiad = 4 mH = 1,5 mF

Forza risultante

F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·4,75·4,5 = 264,2 kN

Risposta

F = 264,2 kN
3.Continuità e Bernoulli

Risposta: v = 7,746 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Bernoulli fino al punto di ristagno

Il flusso si arresta alla punta, quindi la sua energia cinetica si manifesta come pressione aggiuntiva.

p0 − p = ½ρv²
v = √(2·30000/1000) = 7,746 m/s

Risposta

v = 7,746 m/s
4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p2 = 223,1 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v2 = v1·(d1/d2)² = 3·(200/100)² = 12 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67,5 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 320 + (−67,5) − 29,43 = 223,1 kPa

Risposta

p2 = 223,1 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 12,6 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(100/0,25)·1,5²/(2·9,81) = 1,284 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.

Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·1,284 = 12600 Pa = 12,6 kPa

Risposta

Δp = 12,6 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 2,239 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s
V²/(2g) = 0,08263 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·200/0,2 = 20
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Perdita di carico totale

hf = 20·0,08263 = 1,653 m
hm = 7,1·0,08263 = 0,5867 m
Δz = hf + hm = 2,239 m

Risposta

Δz = 2,239 m
7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 80,26 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·18 = 1,766 kW

Rendimento

η = Ph/Pshaft = 1,766/2,2 = 80,26%

Risposta

η = 80,26%
8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: Pshaft = 17,76 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Velocità

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m

Perdite di carico

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18,75 + 8)·0,3305 = 8,841 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + hL = 7 + 8,841 = 15,84 m

Potenza all’albero

Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·15,84/0,7 = 17,76 kW

Risposta

Pshaft = 17,76 kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 13,05 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = b·y = 2,5·2,5 = 6,25 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·2,5 = 7,5 m
R = A/P = 0,8333 m

Velocità

V = (1/0,012)·0,83332/3·0,00081/2 = 2,087 m/s

Portata

Q = A·V = 6,25·2,087 = 13,05 m³/s

Risposta

Q = 13,05 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,007432 m/m

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Raggio idraulico

R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m

Risolvi Manning rispetto a S

S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,9/0,1357)² = 0,007432

Risposta

S = 0,007432

Questo corrisponde a un dislivello di 7,432 m per chilometro.

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