Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 2,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
Un tubo di Pitot statico in una condotta d’acqua indica una differenza di 27 kPa tra la pressione di ristagno e la pressione statica. Trova la velocità dell’acqua v alla punta.
p0 − p = 27 kPaρ = 1000 kg/m³
v = m/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 75 mm a 25 mm salendo di 10 m. Nella sezione 1 la pressione è 300 kPa e la velocità è 1 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 75 mmd2 = 25 mmp1 = 300 kPav1 = 1 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,1 m/s in un tubo orizzontale lungo 800 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.
V = 2,1 m/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,025ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 29 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 29 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,025Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa con rendimento del 80% eroga 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 16 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.
Q = 40 L/sH = 16 mη = 80%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 7 m più in alto. Il tubo è lungo 500 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 200 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 30 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 8ptank = 200 kPa
H = m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale trapezoidale in ghiaia ha una larghezza di fondo di 2,5 m e una scarpa delle sponde di 3:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,5 m. n di Manning = 0,025 e la pendenza del fondo è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.
b = 2,5 my = 1,5 mz = 3n = 0,025S = 0,001
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 200 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 0,75 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).
D = 200 mmn = 0,013V = 0,75 m/s
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 29,43 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,5·2 = 29,43 kN
Risposta
F = 29,43 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 3,595 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3,5·6 = 259,6 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3,5 + 2/(3,5·6) = 3,595 m
Risposta
ycp = 3,595 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: v = 7,348 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli fino al punto di ristagno
Il flusso si arresta alla punta, quindi la sua energia cinetica si manifesta come pressione aggiuntiva.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·27000/1000) = 7,348 m/s
Risposta
v = 7,348 m/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 161,9 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1·(75/25)² = 9 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·10/1000 = 98,1 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 300 + (−40) − 98,1 = 161,9 kPa
Risposta
p2 = 161,9 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δp = 882 kPa
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Perdita di carico
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(800/0,05)·2,1²/(2·9,81) = 89,91 m
Caduta di pressione
Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·89,91 = 882000 Pa = 882 kPa
Risposta
Δp = 882 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 155,7 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,025·150/0,2 = 18,75
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
29 = (18,75 + 4,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·29/23,15) = 4,958 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 4,958·0,03142 = 0,1557 m³/s = 155,7 L/s
Risposta
Q = 155,7 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 7,848 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·16 = 6,278 kW
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/η = 6,278/0,8 = 7,848 kW
Risposta
Pshaft = 7,848 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 40,8 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s
V²/(2g) = 0,1469 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (83,33 + 8)·0,1469 = 13,42 m
Altezza piezometrica
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 20,39 + 13,42 = 40,8 m
Risposta
H = 40,8 m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 12,16 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·1,5)·1,5 = 10,5 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·1,5·√(1 + 3²) = 11,99 m
R = A/P = 0,876 m
Velocità
V = (1/0,025)·0,8762/3·0,0011/2 = 1,158 m/s
Portata
Q = A·V = 10,5·1,158 = 12,16 m³/s
Risposta
Q = 12,16 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,005161 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Raggio idraulico
R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m
Risolvi Manning rispetto a S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·0,75/0,1357)² = 0,005161
Risposta
S = 0,005161
Questo corrisponde a un dislivello di 5,161 m per chilometro.
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