Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 0,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 100 mm. Nel tratto largo la pressione è 180 kPa e la velocità è 0,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nel tratto stretto.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 = 180 kPav1 = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 75 mm e una pressione relativa di 120 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 20 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².
d1 = 75 mmp1 = 120 kPa (relativa)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una portata di 40 L/s in un tubo lungo 100 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
Q = 40 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 12 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 12 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa con rendimento del 82% eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 40 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.
Q = 80 L/sH = 40 mη = 82%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 13 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 65%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Q = 75 L/sΔz = 13 mL = 100 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 6η = 65%
Pshaft = kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale rettangolare in calcestruzzo grezzo è largo 4 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 2,1 m. n di Manning = 0,014 e la pendenza del fondo è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.
b = 4 my = 2,1 mn = 0,014S = 0,001
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale rettangolare in terra pulita largo 2 m deve convogliare 3,6 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,7 m. n di Manning = 0,022. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 3,6 m³/sb = 2 my = 1,7 mn = 0,022
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 198,7 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4,5 m
A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·4,5 = 198,7 kN
Risposta
F = 198,7 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 1,083 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·1 = 1 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·1·1 = 10,06 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 1·1³/12 = 0,08333 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1 + 0,08333/(1·1) = 1,083 m
Risposta
ycp = 1,083 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 178,9 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(150/100)² = 1,688 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 1,688²)/1000 = −1,143 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 180 + (−1,143) = 178,9 kPa
Risposta
p2 = 178,9 kPa
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: H = 12,29 m
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocità di uscita
β = 20/75 = 0,2667
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·120000/(1000·0,9949)) = 15,53 m/s
Altezza del getto
Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.
H = v2²/(2g) = 15,53²/(2·9,81) = 12,29 m
Risposta
H = 12,29 m
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 0,136 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità media
A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²
V = Q/A = 0,04/0,07069 = 0,5659 m/s
Altezza cinetica
V²/(2g) = 0,5659²/(2·9,81) = 0,01632 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(100/0,3)·0,5659²/(2·9,81) = 0,136 m
Risposta
hf = 0,136 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 208,5 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,022·200/0,3 = 14,67
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
12 = (14,67 + 12,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·12/27,07) = 2,949 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 2,949·0,07069 = 0,2085 m³/s = 208,5 L/s
Risposta
Q = 208,5 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 38,28 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·40 = 31,39 kW
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/η = 31,39/0,82 = 38,28 kW
Risposta
Pshaft = 38,28 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 19,98 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10 + 6)·0,2905 = 4,648 m
Prevalenza della pompa
H = Δz + hL = 13 + 4,648 = 17,65 m
Potenza all’albero
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·17,65/0,65 = 19,98 kW
Risposta
Pshaft = 19,98 kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 19,28 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 4·2,1 = 8,4 m²
P = b + 2y = 4 + 2·2,1 = 8,2 m
R = A/P = 1,024 m
Velocità
V = (1/0,014)·1,0242/3·0,0011/2 = 2,295 m/s
Portata
Q = A·V = 8,4·2,295 = 19,28 m³/s
Risposta
Q = 19,28 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,001005 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 2·1,7 = 3,4 m²
P = b + 2y = 2 + 2·1,7 = 5,4 m
R = A/P = 0,6296 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·3,6/(3,4·0,7346) = 0,03171
S = 0,03171² = 0,001005
Risposta
S = 0,001005
Questo corrisponde a un dislivello di 1,005 m per chilometro.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering