Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 29 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. La pressione nella sezione stretta è 300 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 29 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 300 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 75 mm e una pressione relativa di 90 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 30 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 90 kPa (relativa)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 2,7 m/s in un tubo lungo 500 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,018 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 2,7 m/sL = 500 mD = 300 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 300 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 100 L/s?

Q = 100 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 82% eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 10 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 80 L/sH = 10 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 15 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 16 m più in alto. Il tubo è lungo 300 m, con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 100 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 15 L/sΔz = 16 mL = 300 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in ghiaia ha una larghezza di fondo di 1 m e una scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 2 m. n di Manning = 0,025 e la pendenza del fondo è S = 0,005. Trova la portata Q in m³/s.

b = 1 my = 2 mz = 1n = 0,025S = 0,005

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 375 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 0,75 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 22,07 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·1,5 = 22,07 kN

Risposta

F = 22,07 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 20,11 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·2·1 = 20,11 kN

Risposta

F = 20,11 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 320,2 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,029/0,01767 = 1,641 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,029/0,004418 = 6,564 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 300 + ½·1000·(6,564² − 1,641²)/1000 = 300 + 20,2 = 320,2 kPa

Risposta

p₁ = 320,2 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: H = 9,415 m

Velocità di uscita

β = 30/75 = 0,4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·90000/(1000·0,9744)) = 13,59 m/s

Altezza del getto

Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.

H = v₂²/(2g) = 13,59²/(2·9,81) = 9,415 m

Risposta

H = 9,415 m

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 11,15 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,7²/(2·9,81) = 0,3716 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,3)·2,7²/(2·9,81) = 11,15 m

Risposta

h_f = 11,15 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 17,76 m

Velocità

V = Q/A = 0,1/0,03142 = 3,183 m/s

V²/(2g) = 0,5164 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·300/0,2 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Perdita di carico totale

h_f = 30·0,5164 = 15,49 m

h_m = 4,4·0,5164 = 2,272 m

Δz = h_f + h_m = 17,76 m

Risposta

Δz = 17,76 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 9,571 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·10 = 7,848 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 7,848/0,82 = 9,571 kW

Risposta

P_shaft = 9,571 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 38,84 m

Velocità

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0,1859 = 12,64 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 16 + 10,19 + 12,64 = 38,84 m

Risposta

H = 38,84 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 15,83 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·2)·2 = 6 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2·√(1 + 1²) = 6,657 m

R = A/P = 0,9013 m

Velocità

V = (1/0,025)·0,9013^2/3·0,005^1/2 = 2,639 m/s

Portata

Q = A·V = 6·2,639 = 15,83 m³/s

Risposta

Q = 15,83 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,002232 m/m

Raggio idraulico

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Risolvi Manning rispetto a S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,2064)² = 0,002232

Risposta

S = 0,002232

Questo corrisponde a un dislivello di 2,232 m per chilometro.

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