Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 1,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 150 mm e diametro della gola di 75 mm. La pressione all’ingresso è 30 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.
d1 = 150 mmd2 = 75 mmp1 − p2 = 30 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 150 mm a 40 mm salendo di 3 m. Nella sezione 1 la pressione è 200 kPa e la velocità è 0,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 150 mmd2 = 40 mmp1 = 200 kPav1 = 0,75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 1,4 m/s in un tubo orizzontale lungo 1000 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.
V = 1,4 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 0,2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 75 L/s?
Q = 75 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Δz = m
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa eroga 10 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 30 m. Il rendimento della pompa è del 65% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 90%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica Pel assorbita dal motore, in kW.
Q = 10 L/sH = 30 mηpump = 65%ηmotor = 90%g = 9,81 m/s²
Pel = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 15 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 8 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 200 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 15 L/sΔz = 8 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 6ptank = 200 kPa
H = m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale trapezoidale in calcestruzzo grezzo ha una larghezza di fondo di 1,5 m e una scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 2,2 m. n di Manning = 0,014 e la pendenza del fondo è S = 0,003. Trova la portata Q in m³/s.
b = 1,5 my = 2,2 mz = 1n = 0,014S = 0,003
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale rettangolare in terra pulita largo 4,5 m deve convogliare 12 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,4 m. n di Manning = 0,022. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 12 m³/sb = 4,5 my = 1,4 mn = 0,022
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 51,5 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m
A = H·b = 1,5·2 = 3 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·1,75·3 = 51,5 kN
Risposta
F = 51,5 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 2,333 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m
A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·2,25·4,5 = 125,2 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,25 + 0,8438/(2,25·4,5) = 2,333 m
Risposta
ycp = 2,333 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 35,34 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuità
v1 = v2·(75/150)² = 0,25·v2
Bernoulli tra ingresso e gola
Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·30000/(1000·(1 − 0,0625))) = 8 m/s
v1 = 2 m/s
Portata
Q = A2·v2 = 0,004418·8 = 0,03534 m³/s = 35,34 L/s
Risposta
Q = 35,34 L/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 115,2 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 0,75·(150/40)² = 10,55 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0,75² − 10,55²)/1000 = −55,34 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·3/1000 = 29,43 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 200 + (−55,34) − 29,43 = 115,2 kPa
Risposta
p2 = 115,2 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δp = 365,9 kPa
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Perdita di carico
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(1000/0,075)·1,4²/(2·9,81) = 37,3 m
Caduta di pressione
Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·37,3 = 365867 Pa = 365,9 kPa
Risposta
Δp = 365,9 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δz = 0,5967 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Velocità
V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s
V²/(2g) = 0,05738 m
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,015·150/0,3 = 7,5
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9
Perdita di carico totale
hf = 7,5·0,05738 = 0,4303 m
hm = 2,9·0,05738 = 0,1664 m
Δz = hf + hm = 0,5967 m
Risposta
Δz = 0,5967 m
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pel = 5,031 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·30 = 2,943 kW
Potenza all’albero
Pshaft = 2,943/0,65 = 4,528 kW
Potenza elettrica
Pel = 4,528/0,9 = 5,031 kW
Risposta
Pel = 5,031 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 37,68 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 6)·0,1859 = 9,296 m
Altezza piezometrica
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 8 + 20,39 + 9,296 = 37,68 m
Risposta
H = 37,68 m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 32,98 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1·2,2)·2,2 = 8,14 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·2,2·√(1 + 1²) = 7,723 m
R = A/P = 1,054 m
Velocità
V = (1/0,014)·1,0542/3·0,0031/2 = 4,052 m/s
Portata
Q = A·V = 8,14·4,052 = 32,98 m³/s
Risposta
Q = 32,98 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,002137 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 4,5·1,4 = 6,3 m²
P = b + 2y = 4,5 + 2·1,4 = 7,3 m
R = A/P = 0,863 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,022·12/(6,3·0,9065) = 0,04623
S = 0,04623² = 0,002137
Risposta
S = 0,002137
Questo corrisponde a un dislivello di 2,137 m per chilometro.
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