Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 24 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 100 mm a 75 mm. La pressione nella sezione stretta è 150 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 24 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 150 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 150 mm a 75 mm salendo di 2 m. Nella sezione 1 la pressione è 230 kPa e la velocità è 2,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 230 kPav₁ = 2,75 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,4 m/s in un tubo orizzontale lungo 150 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,015 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 2,4 m/sL = 150 mD = 100 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 11 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 0,2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 11 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 14 m mentre il suo albero assorbe 22,9 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 100 L/sH = 14 mP_shaft = 22,9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 18 m più in alto. Il tubo è lungo 400 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 5 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 78%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 75 L/sΔz = 18 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5η = 78%

P_shaft = kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 900 mm scorre mezzo pieno. n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,0008. Trova la portata Q in m³/s.

D = 900 mmn = 0,013S = 0,0008

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in calcestruzzo grezzo largo 3 m deve convogliare 7,5 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,5 m. n di Manning = 0,014. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 7,5 m³/sb = 3 my = 1,5 mn = 0,014

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 36,79 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·1,5 = 36,79 kN

Risposta

F = 36,79 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 3,889 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,75·7,5 = 282,8 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 3,906/(3,75·7,5) = 3,889 m

Risposta

y_cp = 3,889 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 160,1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,024/0,007854 = 3,056 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,024/0,004418 = 5,432 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 150 + ½·1000·(5,432² − 3,056²)/1000 = 150 + 10,09 = 160,1 kPa

Risposta

p₁ = 160,1 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 153,7 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(150/75)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 11²)/1000 = −56,72 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 230 + (−56,72) − 19,62 = 153,7 kPa

Risposta

p₂ = 153,7 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 64,8 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(150/0,1)·2,4²/(2·9,81) = 6,606 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·6,606 = 64800 Pa = 64,8 kPa

Risposta

Δp = 64,8 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 110 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·150/0,2 = 15

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,6

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

11 = (15 + 2,6)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·11/17,6) = 3,502 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 3,502·0,03142 = 0,11 m³/s = 110 L/s

Risposta

Q = 110 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 59,97 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·14 = 13,73 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 13,73/22,9 = 59,97%

Risposta

η = 59,97%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 26,57 kW

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 5)·0,2905 = 10,17 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 18 + 10,17 = 28,17 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·28,17/0,78 = 26,57 kW

Risposta

P_shaft = 26,57 kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 0,256 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = 0,3181 m², R = D/4 = 0,225 m

Velocità

V = (1/0,013)·0,225^2/3·0,0008^1/2 = 0,8049 m/s

Portata

Q = A·V = 0,3181·0,8049 = 0,256 m³/s

Risposta

Q = 0,256 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,000799 m/m

Geometria

A = b·y = 3·1,5 = 4,5 m²

P = b + 2y = 3 + 2·1,5 = 6 m

R = A/P = 0,75 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·7,5/(4,5·0,8255) = 0,02827

S = 0,02827² = 0,000799

Risposta

S = 0,000799

Questo corrisponde a un dislivello di 0,799 m per chilometro.

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