Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 40 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 1 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,63. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

d = 40 mmh = 1 mC_d = 0,63g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un tubo flessibile con diametro interno di 40 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 1,5 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 3,5 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la portata Q.

d = 40 mmz_C = +1,5 mz₂ = −3,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,9 m/s in un tubo orizzontale lungo 800 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 2,9 m/sL = 800 mD = 50 mmf = 0,028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 14 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 14 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

In una prova, una pompa eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 80 m mentre il suo albero assorbe 104,6 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.

Q = 80 L/sH = 80 mP_shaft = 104,6 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 19 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 75 L/sΔz = 19 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 6

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale rettangolare in terra rivestita d’erba è largo 5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,6 m. n di Manning = 0,03 e la pendenza del fondo è S = 0,0015. Trova la portata Q in m³/s.

b = 5 my = 1,6 mn = 0,03S = 0,0015

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in muratura in mattoni largo 3 m deve convogliare 14 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 2,3 m. n di Manning = 0,015. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 14 m³/sb = 3 my = 2,3 mn = 0,015

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 134,9 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·5 = 134,9 kN

Risposta

F = 134,9 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 4,083 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·4 = 157 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 1,333/(4·4) = 4,083 m

Risposta

y_cp = 4,083 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 3,507 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità ideale del getto

√(2gh) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Portata reale

Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,63·0,001257·4,429 = 0,003507 m³/s = 3,507 L/s

Risposta

Q = 3,507 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 10,41 L/s

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Portata

Q = A·v = 0,001257·8,287 = 0,01041 m³/s = 10,41 L/s

Risposta

Q = 10,41 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 1884 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(800/0,05)·2,9²/(2·9,81) = 192 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·192 = 1,884 × 10⁶ Pa = 1884 kPa

Risposta

Δp = 1884 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 62,35 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

14 = (14,67 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·14/22,07) = 3,528 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 3,528·0,01767 = 0,06235 m³/s = 62,35 L/s

Risposta

Q = 62,35 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: η = 60,02 %

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·80 = 62,78 kW

Rendimento

η = P_h/P_shaft = 62,78/104,6 = 60,02%

Risposta

η = 60,02%

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 25,1 m

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 6)·0,2905 = 6,1 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 19 + 6,1 = 25,1 m

Risposta

H = 25,1 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 10,16 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = b·y = 5·1,6 = 8 m²

P = b + 2y = 5 + 2·1,6 = 8,2 m

R = A/P = 0,9756 m

Velocità

V = (1/0,03)·0,9756^2/3·0,0015^1/2 = 1,27 m/s

Portata

Q = A·V = 8·1,27 = 10,16 m³/s

Risposta

Q = 10,16 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,001054 m/m

Geometria

A = b·y = 3·2,3 = 6,9 m²

P = b + 2y = 3 + 2·2,3 = 7,6 m

R = A/P = 0,9079 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·14/(6,9·0,9376) = 0,03246

S = 0,03246² = 0,001054

Risposta

S = 0,001054

Questo corrisponde a un dislivello di 1,054 m per chilometro.

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