Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 1,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 300 mm e diametro della gola di 150 mm. La pressione all’ingresso è 13 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 13 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un tubo flessibile con diametro interno di 50 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 2,5 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 2,5 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la portata Q.

d = 50 mmz_C = +2,5 mz₂ = −2,5 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 2,4 m/s in un tubo lungo 400 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,028 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 2,4 m/sL = 400 mD = 250 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 400 m con diametro interno di 300 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 65% eroga 10 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 16 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 10 L/sH = 16 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 40 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 6 m più in alto. Il tubo è lungo 600 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 82%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 40 L/sΔz = 6 mL = 600 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale rettangolare in terra rivestita d’erba è largo 4,5 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,1 m. n di Manning = 0,03 e la pendenza del fondo è S = 0,003. Trova la portata Q in m³/s.

b = 4,5 my = 1,1 mn = 0,03S = 0,003

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale trapezoidale in calcestruzzo lisciato con larghezza di fondo di 3,5 m e scarpa delle sponde di 3:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 49 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,6 m. n di Manning = 0,012. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 49 m³/sb = 3,5 my = 1,6 mz = 3n = 0,012

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 19,62 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·1 = 19,62 kN

Risposta

F = 19,62 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 2,042 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·2 = 49,44 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0,1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0,1667/(2·2) = 2,042 m

Risposta

y_cp = 2,042 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 93,06 L/s

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità

v₁ = v₂·(150/300)² = 0,25·v₂

Bernoulli tra ingresso e gola

Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·13000/(1000·(1 − 0,0625))) = 5,266 m/s

v₁ = 1,317 m/s

Portata

Q = A₂·v₂ = 0,01767·5,266 = 0,09306 m³/s = 93,06 L/s

Risposta

Q = 93,06 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 13,75 L/s

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·2,5) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s

Portata

Q = A·v = 0,001963·7,004 = 0,01375 m³/s = 13,75 L/s

Risposta

Q = 13,75 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 13,15 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,4²/(2·9,81) = 0,2936 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(400/0,25)·2,4²/(2·9,81) = 13,15 m

Risposta

h_f = 13,15 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 1,783 m

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,02·400/0,3 = 26,67

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Perdita di carico totale

h_f = 26,67·0,05738 = 1,53 m

h_m = 4,4·0,05738 = 0,2525 m

Δz = h_f + h_m = 1,783 m

Risposta

Δz = 1,783 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 2,415 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·16 = 1,57 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 1,57/0,65 = 2,415 kW

Risposta

P_shaft = 2,415 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 5,797 kW

Velocità

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (66 + 8)·0,08263 = 6,114 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 6 + 6,114 = 12,11 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·12,11/0,82 = 5,797 kW

Risposta

P_shaft = 5,797 kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 7,386 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = b·y = 4,5·1,1 = 4,95 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·1,1 = 6,7 m

R = A/P = 0,7388 m

Velocità

V = (1/0,03)·0,7388^2/3·0,003^1/2 = 1,492 m/s

Portata

Q = A·V = 4,95·1,492 = 7,386 m³/s

Risposta

Q = 7,386 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,002028 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 3·1,6)·1,6 = 13,28 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,6·√(1 + 3²) = 13,62 m

R = A/P = 0,9751 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·49/(13,28·0,9833) = 0,04503

S = 0,04503² = 0,002028

Risposta

S = 0,002028

Questo corrisponde a un dislivello di 2,028 m per chilometro.

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