Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 40 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 200 mm a 150 mm. La pressione nella sezione stretta è 90 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 40 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 90 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 100 mm e una pressione relativa di 30 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 20 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 30 kPa (relativa)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 40 L/s in un tubo lungo 1000 m con diametro interno di 200 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 40 L/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 23 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.

Δz = 23 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 80 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 72 m. Il rendimento della pompa è del 78% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 92%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 80 L/sH = 72 mη_pump = 78%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 60 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 10 m più in alto. Il tubo è lungo 400 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 400 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 60 L/sΔz = 10 mL = 400 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 6p_tank = 400 kPa

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 600 mm scorre appena pieno (come canale a pelo libero, non in pressione). n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,003. Trova la portata Q in m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,003

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 375 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 0,75 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 36,79 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,25·3 = 36,79 kN

Risposta

F = 36,79 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 15,08 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1·1,5 = 15,08 kN

Risposta

F = 15,08 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 91,75 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 90 + ½·1000·(2,264² − 1,273²)/1000 = 90 + 1,751 = 91,75 kPa

Risposta

p₁ = 91,75 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: H = 3,063 m

Velocità di uscita

β = 20/100 = 0,2

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·30000/(1000·0,9984)) = 7,752 m/s

Altezza del getto

Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.

H = v₂²/(2g) = 7,752²/(2·9,81) = 3,063 m

Risposta

H = 3,063 m

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 9,089 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,273²/(2·9,81) = 0,08263 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(1000/0,2)·1,273²/(2·9,81) = 9,089 m

Risposta

h_f = 9,089 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Q = 131,1 L/s

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·150/0,2 = 13,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Equazione dell’energia

Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.

23 = (13,5 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·23/25,9) = 4,174 m/s

Portata

Q = V·π·D²/4 = 4,174·0,03142 = 0,1311 m³/s = 131,1 L/s

Risposta

Q = 131,1 L/s

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 78,74 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·72 = 56,51 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 56,51/0,78 = 72,44 kW

Potenza elettrica

P_el = 72,44/0,92 = 78,74 kW

Risposta

P_el = 78,74 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 58,58 m

Velocità

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 6)·0,1859 = 7,808 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 40,77 + 7,808 = 58,58 m

Risposta

H = 58,58 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 0,3363 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = 0,2827 m², R = D/4 = 0,15 m

Velocità

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,003^1/2 = 1,189 m/s

Portata

Q = A·V = 0,2827·1,189 = 0,3363 m³/s

Risposta

Q = 0,3363 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,002232 m/m

Raggio idraulico

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Risolvi Manning rispetto a S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,2064)² = 0,002232

Risposta

S = 0,002232

Questo corrisponde a un dislivello di 2,232 m per chilometro.

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