Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 2 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 30 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 1,5 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,65. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².
d = 30 mmh = 1,5 mCd = 0,65g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 30 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 25 mm, 4 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².
pair = 30 kPa (relativa)h = 4 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una velocità media di 1,5 m/s in un tubo lungo 100 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
V = 1,5 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 23 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 23 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 40 m mentre il suo albero assorbe 46,2 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 100 L/sH = 40 mPshaft = 46,2 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 12 m più in alto. Il tubo è lungo 400 m, con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 150 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.
Q = 20 L/sΔz = 12 mL = 400 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 8ptank = 150 kPa
H = m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale rettangolare in muratura in mattoni è largo 6 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 2,1 m. n di Manning = 0,015 e la pendenza del fondo è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.
b = 6 my = 2,1 mn = 0,015S = 0,001
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 200 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 1,2 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).
D = 200 mmn = 0,013V = 1,2 m/s
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 176,6 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN
Risposta
F = 176,6 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 2,818 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1025·9,81·2,75·1,5 = 41,48 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 1·1,5³/12 = 0,2813 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,75 + 0,2813/(2,75·1,5) = 2,818 m
Risposta
ycp = 2,818 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 2,493 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Velocità ideale del getto
√(2gh) = √(2·9,81·1,5) = 5,425 m/s
Portata reale
Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,65·0,0007069·5,425 = 0,002493 m³/s = 2,493 L/s
Risposta
Q = 2,493 L/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 5,776 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Bernoulli dal pelo libero al getto
v = √(2·(30000/1000 + 9,81·4)) = 11,77 m/s
Portata
Q = A·v = 0,0004909·11,77 = 0,005776 m³/s = 5,776 L/s
Risposta
Q = 5,776 L/s
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 4,587 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Altezza cinetica
V²/(2g) = 1,5²/(2·9,81) = 0,1147 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(100/0,075)·1,5²/(2·9,81) = 4,587 m
Risposta
hf = 4,587 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 28,45 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,022·100/0,1 = 22
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
23 = (22 + 12,4)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·23/34,4) = 3,622 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 3,622·0,007854 = 0,02845 m³/s = 28,45 L/s
Risposta
Q = 28,45 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 84,94 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·40 = 39,24 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 39,24/46,2 = 84,94%
Risposta
η = 84,94%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: H = 56,38 m
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s
V²/(2g) = 0,3305 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (80 + 8)·0,3305 = 29,08 m
Altezza piezometrica
p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m
Prevalenza della pompa
Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 12 + 15,29 + 29,08 = 56,38 m
Risposta
H = 56,38 m
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 30,58 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = b·y = 6·2,1 = 12,6 m²
P = b + 2y = 6 + 2·2,1 = 10,2 m
R = A/P = 1,235 m
Velocità
V = (1/0,015)·1,2352/3·0,0011/2 = 2,427 m/s
Portata
Q = A·V = 12,6·2,427 = 30,58 m³/s
Risposta
Q = 30,58 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,01321 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Raggio idraulico
R = D/4 = 0,2/4 = 0,05 m
Risolvi Manning rispetto a S
S = (n·V/R2/3)² = (0,013·1,2/0,1357)² = 0,01321
Risposta
S = 0,01321
Questo corrisponde a un dislivello di 13,21 m per chilometro.
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