Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 0,5 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre a 11 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 150 mm a 75 mm. La pressione nella sezione stretta è 170 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p₁ nella sezione larga.

Q = 11 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 170 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un serbatoio d’acqua chiuso contiene aria compressa sopra l’acqua a una pressione relativa di 110 kPa. L’acqua esce all’aria aperta attraverso un’apertura con diametro di 50 mm, 2 m sotto il pelo libero. Trascurando le perdite, trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².

p_air = 110 kPa (relativa)h = 2 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,5 m/s in un tubo orizzontale lungo 200 m con diametro interno di 200 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,02 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.

V = 2,5 m/sL = 200 mD = 200 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 0,2) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 20 L/s?

Q = 20 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa eroga 10 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 42 m. Il rendimento della pompa è del 70% e il motore elettrico che la aziona ha un rendimento del 92%. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza elettrica P_el assorbita dal motore, in kW.

Q = 10 L/sH = 42 mη_pump = 70%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 15 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². La vasca superiore è chiusa e l’aria sopra l’acqua è a una pressione relativa di 100 kPa. Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 75 L/sΔz = 15 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in terra rivestita d’erba ha una larghezza di fondo di 4,5 m e una scarpa delle sponde di 1,5:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,7 m. n di Manning = 0,03 e la pendenza del fondo è S = 0,002. Trova la portata Q in m³/s.

b = 4,5 my = 1,7 mz = 1,5n = 0,03S = 0,002

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un collettore in calcestruzzo con diametro interno di 375 mm (n di Manning = 0,013) deve raggiungere, quando scorre appena pieno, una velocità di autopulizia di 1 m/s. Trova la pendenza minima S (in m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 1 m/s

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 58,86 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·3 = 58,86 kN

Risposta

F = 58,86 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 1,4 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 1,5/2 = 1,25 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·1,25·3 = 32,37 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 2·1,5³/12 = 0,5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,25 + 0,5625/(1,25·3) = 1,4 m

Risposta

y_cp = 1,4 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₁ = 172,9 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità

v₁ = Q/A₁ = 0,011/0,01767 = 0,6225 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,011/0,004418 = 2,49 m/s

Bernoulli

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 170 + ½·1000·(2,49² − 0,6225²)/1000 = 170 + 2,906 = 172,9 kPa

Risposta

p₁ = 172,9 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 31,61 L/s

Bernoulli dal pelo libero al getto

v = √(2·(110000/1000 + 9,81·2)) = 16,1 m/s

Portata

Q = A·v = 0,001963·16,1 = 0,03161 m³/s = 31,61 L/s

Risposta

Q = 31,61 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δp = 62,5 kPa

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Perdita di carico

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(200/0,2)·2,5²/(2·9,81) = 6,371 m

Caduta di pressione

Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·6,371 = 62500 Pa = 62,5 kPa

Risposta

Δp = 62,5 kPa

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 0,9728 m

Velocità

V = Q/A = 0,02/0,01767 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,018·100/0,15 = 12

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Perdita di carico totale

h_f = 12·0,06529 = 0,7834 m

h_m = 2,9·0,06529 = 0,1893 m

Δz = h_f + h_m = 0,9728 m

Risposta

Δz = 0,9728 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_el = 6,398 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·42 = 4,12 kW

Potenza all’albero

P_shaft = 4,12/0,7 = 5,886 kW

Potenza elettrica

P_el = 5,886/0,92 = 6,398 kW

Risposta

P_el = 6,398 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 28,05 m

Velocità

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 8)·0,119 = 2,856 m

Altezza piezometrica

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono praticamente in quiete, quindi non c’è il termine dell’altezza cinetica.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 15 + 10,19 + 2,856 = 28,05 m

Risposta

H = 28,05 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 19,35 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1,5·1,7)·1,7 = 11,98 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·1,7·√(1 + 1,5²) = 10,63 m

R = A/P = 1,128 m

Velocità

V = (1/0,03)·1,128^2/3·0,002^1/2 = 1,615 m/s

Portata

Q = A·V = 11,98·1,615 = 19,35 m³/s

Risposta

Q = 19,35 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,003968 m/m

Raggio idraulico

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Risolvi Manning rispetto a S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1/0,2064)² = 0,003968

Risposta

S = 0,003968

Questo corrisponde a un dislivello di 3,968 m per chilometro.

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