Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 1,5 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 1,5 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua defluisce da un grande serbatoio aperto attraverso una luce a spigolo vivo con diametro di 50 mm. Il livello dell’acqua è mantenuto 2,5 m sopra la luce e il coefficiente di efflusso è 0,62. Trova la portata Q. Usa g = 9,81 m/s².
d = 50 mmh = 2,5 mCd = 0,62g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’ugello di una fontana è rivolto verso l’alto. Appena sotto l’ugello il tubo di alimentazione ha un diametro di 50 mm e una pressione relativa di 20 kPa. Il diametro di uscita dell’ugello è 20 mm e il dislivello attraverso l’ugello è trascurabile. Trascurando le perdite e la resistenza dell’aria, trova l’altezza H a cui il getto sale sopra l’ugello. Usa g = 9,81 m/s².
d1 = 50 mmp1 = 20 kPa (relativa)d2 = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
H = m
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua (ρ = 1000 kg/m³) scorre a 2,5 m/s in un tubo orizzontale lungo 800 m con diametro interno di 300 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,022 e g = 9,81 m/s². Trova la caduta di pressione Δp lungo il tubo in kPa.
V = 2,5 m/sL = 800 mD = 300 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,018. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 24 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 24 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,018Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 10Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
In una prova, una pompa eroga 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 80 m mentre il suo albero assorbe 54,5 kW. Usa g = 9,81 m/s². Trova il rendimento della pompa η in percentuale.
Q = 50 L/sH = 80 mPshaft = 54,5 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 75 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 10 m più in alto. Il tubo è lungo 200 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,025; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 72%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Q = 75 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,025ΣK = 8η = 72%
Pshaft = kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 900 mm scorre mezzo pieno. n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,005. Trova la portata Q in m³/s.
D = 900 mmn = 0,013S = 0,005
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale trapezoidale in muratura in mattoni con larghezza di fondo di 5 m e scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 19 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,5 m. n di Manning = 0,015. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 19 m³/sb = 5 my = 1,5 mz = 1n = 0,015
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 67,44 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m
A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,75·2,5 = 67,44 kN
Risposta
F = 67,44 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: F = 148,3 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m
A = H·b = 2·1,5 = 3 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·4·3 = 148,3 kN
Risposta
F = 148,3 kN
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 8,526 L/s
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Velocità ideale del getto
√(2gh) = √(2·9,81·2,5) = 7,004 m/s
Portata reale
Il coefficiente di efflusso tiene conto della contrazione del getto e dell’attrito sul bordo.
Q = Cd·A·√(2gh) = 0,62·0,001963·7,004 = 0,008526 m³/s = 8,526 L/s
Risposta
Q = 8,526 L/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: H = 2,092 m
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Velocità di uscita
β = 20/50 = 0,4
v2 = √(2p1/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·20000/(1000·0,9744)) = 6,407 m/s
Altezza del getto
Bernoulli lungo il getto: in cima la velocità è nulla e la pressione è di nuovo atmosferica.
H = v2²/(2g) = 6,407²/(2·9,81) = 2,092 m
Risposta
H = 2,092 m
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Δp = 183,3 kPa
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Perdita di carico
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(800/0,3)·2,5²/(2·9,81) = 18,69 m
Caduta di pressione
Il tubo è orizzontale e la velocità non cambia, quindi l’equazione dell’energia si riduce a Δp = ρ·g·hf.
Δp = ρ·g·hf = 1000·9,81·18,69 = 183333 Pa = 183,3 kPa
Risposta
Δp = 183,3 kPa
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 204,6 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,018·200/0,25 = 14,4
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
24 = (14,4 + 12,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·24/27,1) = 4,168 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 4,168·0,04909 = 0,2046 m³/s = 204,6 L/s
Risposta
Q = 204,6 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: η = 72 %
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·80 = 39,24 kW
Rendimento
η = Ph/Pshaft = 39,24/54,5 = 72%
Risposta
η = 72%
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 20,01 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s
V²/(2g) = 0,2905 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 8)·0,2905 = 9,586 m
Prevalenza della pompa
H = Δz + hL = 10 + 9,586 = 19,59 m
Potenza all’albero
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·19,59/0,72 = 20,01 kW
Risposta
Pshaft = 20,01 kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 0,64 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = 0,3181 m², R = D/4 = 0,225 m
Velocità
V = (1/0,013)·0,2252/3·0,0051/2 = 2,012 m/s
Portata
Q = A·V = 0,3181·2,012 = 0,64 m³/s
Risposta
Q = 0,64 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,0007957 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (5 + 1·1,5)·1,5 = 9,75 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,5·√(1 + 1²) = 9,243 m
R = A/P = 1,055 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,015·19/(9,75·1,036) = 0,02821
S = 0,02821² = 0,0007957
Risposta
S = 0,0007957
Questo corrisponde a un dislivello di 0,7957 m per chilometro.
ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering