Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di glicerina, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 300 mm e diametro della gola di 150 mm. La pressione all’ingresso è 58 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmp₁ − p₂ = 58 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Continuità e BernoulliDifficile

L’acqua sale in un tubo che si restringe da 75 mm a 50 mm salendo di 8 m. Nella sezione 1 la pressione è 370 kPa e la velocità è 2,25 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nella sezione 2.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 370 kPav₁ = 2,25 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 1,1 m/s in un tubo lungo 150 m con diametro interno di 75 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 1,1 m/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 100 m con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 2 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 10) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 78% eroga 50 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 14 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 50 L/sH = 14 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 30 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 8 m più in alto. Il tubo è lungo 600 m, con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 65%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 30 L/sΔz = 8 mL = 600 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale rettangolare in terra pulita è largo 4 m. L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1,9 m. n di Manning = 0,022 e la pendenza del fondo è S = 0,001. Trova la portata Q in m³/s.

b = 4 my = 1,9 mn = 0,022S = 0,001

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale trapezoidale in calcestruzzo grezzo con larghezza di fondo di 5 m e scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 10 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1 m. n di Manning = 0,014. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 10 m³/sb = 5 my = 1 mz = 1n = 0,014

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 206 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Risposta

F = 206 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 2,375 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·9 = 222,5 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 6,75/(2·9) = 2,375 m

Risposta

y_cp = 2,375 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 196,6 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Continuità

v₁ = v₂·(150/300)² = 0,25·v₂

Bernoulli tra ingresso e gola

Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·58000/(1000·(1 − 0,0625))) = 11,12 m/s

v₁ = 2,781 m/s

Portata

Q = A₂·v₂ = 0,01767·11,12 = 0,1966 m³/s = 196,6 L/s

Risposta

Q = 196,6 L/s

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 281,2 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(75/50)² = 5,063 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 5,063²)/1000 = −10,28 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·8/1000 = 78,48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 370 + (−10,28) − 78,48 = 281,2 kPa

Risposta

p₂ = 281,2 kPa

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 3,084 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,1²/(2·9,81) = 0,06167 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(150/0,075)·1,1²/(2·9,81) = 3,084 m

Risposta

h_f = 3,084 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 15,73 m

Velocità

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

V²/(2g) = 0,5876 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,022·100/0,15 = 14,67

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Perdita di carico totale

h_f = 14,67·0,5876 = 8,618 m

h_m = 12,1·0,5876 = 7,11 m

Δz = h_f + h_m = 15,73 m

Risposta

Δz = 15,73 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 8,804 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·14 = 6,867 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 6,867/0,78 = 8,804 kW

Risposta

P_shaft = 8,804 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 8,145 kW

Velocità

V = Q/A = 0,03/0,01767 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (60 + 8)·0,1469 = 9,989 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 8 + 9,989 = 17,99 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,03·17,99/0,65 = 8,145 kW

Risposta

P_shaft = 8,145 kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 10,74 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = b·y = 4·1,9 = 7,6 m²

P = b + 2y = 4 + 2·1,9 = 7,8 m

R = A/P = 0,9744 m

Velocità

V = (1/0,022)·0,9744^2/3·0,001^1/2 = 1,413 m/s

Portata

Q = A·V = 7,6·1,413 = 10,74 m³/s

Risposta

Q = 10,74 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,0007762 m/m

Geometria

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·1)·1 = 6 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1·√(1 + 1²) = 7,828 m

R = A/P = 0,7664 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·10/(6·0,8375) = 0,02786

S = 0,02786² = 0,0007762

Risposta

S = 0,0007762

Questo corrisponde a un dislivello di 0,7762 m per chilometro.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering