Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 3 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 3 mH = 1,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la profondità y_cp del centro di spinta sotto la superficie.

d = 2 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 75 mm a 50 mm. Nel tratto largo la pressione è 200 kPa e la velocità è 0,75 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 200 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un tubo flessibile con diametro interno di 25 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 2,5 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 2 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la portata Q.

d = 25 mmz_C = +2,5 mz₂ = −2 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una velocità media di 1,1 m/s in un tubo lungo 50 m con diametro interno di 100 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,03 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

V = 1,1 m/sL = 50 mD = 100 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 200 m con diametro interno di 150 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,015. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Quale dislivello Δz tra i peli liberi dei serbatoi dà una portata di 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 70% eroga 20 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 16 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 20 L/sH = 16 mη = 70%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 120 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 28 m più in alto. Il tubo è lungo 400 m, con diametro interno di 250 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 8 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 65%. Trova la potenza all’albero P_shaft in kW.

Q = 120 L/sΔz = 28 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un canale trapezoidale in muratura in mattoni ha una larghezza di fondo di 3 m e una scarpa delle sponde di 1:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 1 m. n di Manning = 0,015 e la pendenza del fondo è S = 0,004. Trova la portata Q in m³/s.

b = 3 my = 1 mz = 1n = 0,015S = 0,004

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in terra rivestita d’erba largo 4,5 m deve convogliare 7,7 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,3 m. n di Manning = 0,03. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 7,7 m³/sb = 4,5 my = 1,3 mn = 0,03

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 110,4 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·2 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·3 = 110,4 kN

Risposta

F = 110,4 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: y_cp = 3,41 m

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,25·7,5 = 245,1 kN

Centro di spinta

La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.

I_c = b·H³/12 = 3·2,5³/12 = 3,906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 3,906/(3,25·7,5) = 3,41 m

Risposta

y_cp = 3,41 m

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 198,9 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(75/50)² = 1,688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 1,688²)/1000 = −1,143 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 200 + (−1,143) = 198,9 kPa

Risposta

p₂ = 198,9 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 3,075 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Velocità nel tubo

Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.

v = √(2g·2) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Portata

Q = A·v = 0,0004909·6,264 = 0,003075 m³/s = 3,075 L/s

Risposta

Q = 3,075 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 0,9251 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Altezza cinetica

V²/(2g) = 1,1²/(2·9,81) = 0,06167 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,1)·1,1²/(2·9,81) = 0,9251 m

Risposta

h_f = 0,9251 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: Δz = 11,18 m

Velocità

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·200/0,15 = 20

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Perdita di carico totale

h_f = 20·0,408 = 8,161 m

h_m = 7,4·0,408 = 3,019 m

Δz = h_f + h_m = 11,18 m

Risposta

Δz = 11,18 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 4,485 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·16 = 3,139 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 3,139/0,7 = 4,485 kW

Risposta

P_shaft = 4,485 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 74,54 kW

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (35,2 + 8)·0,3046 = 13,16 m

Prevalenza della pompa

H = Δz + h_L = 28 + 13,16 = 41,16 m

Potenza all’albero

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,12·41,16/0,65 = 74,54 kW

Risposta

P_shaft = 74,54 kW

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 13,12 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·1)·1 = 4 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1·√(1 + 1²) = 5,828 m

R = A/P = 0,6863 m

Velocità

V = (1/0,015)·0,6863^2/3·0,004^1/2 = 3,281 m/s

Portata

Q = A·V = 4·3,281 = 13,12 m³/s

Risposta

Q = 13,12 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,002019 m/m

Geometria

A = b·y = 4,5·1,3 = 5,85 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·1,3 = 7,1 m

R = A/P = 0,8239 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·7,7/(5,85·0,8789) = 0,04493

S = 0,04493² = 0,002019

Risposta

S = 0,002019

Questo corrisponde a un dislivello di 2,019 m per chilometro.

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