Spinta idrostatica
- Pressione a una profondità
- p = ρgh
- Forza su una parete verticale
- F = ρg·hc·A
- Centro di spinta
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Rettangolo
- Ic = bH³/12
Idraulica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Continuità e Bernoulli
- Continuità
- A1v1 = A2v2
- Bernoulli
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Portata
- Q = A·v
- Area del cerchio
- A = πd²/4
Attrito nei condotti e perdite di carico
- Numero di Reynolds
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Regime di moto
- laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
- Velocità media
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Darcy–Weisbach
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Perdite localizzate
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Valori tipici di K
- imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
- Caduta di pressione
- Δp = ρ·g·hf
- Due serbatoi aperti
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Sbocco libero
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Pompe e potenza delle pompe
- Potenza idraulica
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Potenza all’albero
- Pshaft = Ph/ηpump
- Potenza elettrica
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Prevalenza della pompa
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Perdite dell’impianto
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Moto nei canali a pelo libero (Manning)
- Equazione di Manning
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- Portata
- Q = A·V
- Raggio idraulico
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- Rettangolo
- A = b·y, P = b + 2y
- Trapezio (scarpa z:1)
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- Tubo circolare, pieno o mezzo pieno
- R = D/4
- Pendenza richiesta
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
2Esercizi
1.Spinta idrostaticaMedia
Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Spinta idrostaticaDifficile
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di olio, con il bordo superiore 1 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
d = 1 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
ycp = m
3.Continuità e BernoulliMedia
Acqua scorre in un venturimetro orizzontale con diametro d’ingresso di 150 mm e diametro della gola di 100 mm. La pressione all’ingresso è 47 kPa più alta che nella gola. Trascurando le perdite, trova la portata Q.
d1 = 150 mmd2 = 100 mmp1 − p2 = 47 kPaρ = 1000 kg/m³
Q = L/s
4.Continuità e BernoulliDifficile
L’acqua sale in un tubo che si restringe da 200 mm a 75 mm salendo di 6 m. Nella sezione 1 la pressione è 220 kPa e la velocità è 1,5 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p2 nella sezione 2.
d1 = 200 mmd2 = 75 mmp1 = 220 kPav1 = 1,5 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia
Acqua scorre con una velocità media di 2 m/s in un tubo lungo 500 m con diametro interno di 250 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito hf.
V = 2 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile
Due serbatoi aperti sono collegati da un tubo lungo 150 m con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,02. Il pelo libero del serbatoio superiore si trova 37 m sopra quello del serbatoio inferiore. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 4 curve (K = 0,3 ciascuna), una valvola (K = 5) e lo sbocco nel serbatoio inferiore (K = 1,0). Usa g = 9,81 m/s². Trova la portata Q in L/s.
Δz = 37 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Pompe e potenza delle pompeMedia
Una pompa con rendimento del 72% eroga 100 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 36 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero Pshaft necessaria, in kW.
Q = 100 L/sH = 36 mη = 72%g = 9,81 m/s²
Pshaft = kW
8.Pompe e potenza delle pompeDifficile
Una pompa trasferisce 15 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 8 m più in alto. Il tubo è lungo 100 m, con diametro interno di 100 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 4 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Il rendimento della pompa è del 75%. Trova la potenza all’albero Pshaft in kW.
Q = 15 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 4η = 75%
Pshaft = kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media
Un canale trapezoidale in terra rivestita d’erba ha una larghezza di fondo di 3,5 m e una scarpa delle sponde di 1,5:1 (orizzontale:verticale). L’acqua scorre in moto uniforme con un’altezza di 0,7 m. n di Manning = 0,03 e la pendenza del fondo è S = 0,0005. Trova la portata Q in m³/s.
b = 3,5 my = 0,7 mz = 1,5n = 0,03S = 0,0005
Q = m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile
Un canale trapezoidale in calcestruzzo lisciato con larghezza di fondo di 1,5 m e scarpa delle sponde di 1,5:1 (orizzontale:verticale) deve convogliare 11 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1,2 m. n di Manning = 0,012. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).
Q = 11 m³/sb = 1,5 my = 1,2 mz = 1,5n = 0,012
S = m/m
3Soluzioni
1.Spinta idrostatica
Risposta: F = 58,86 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN
Risposta
F = 58,86 kN
2.Spinta idrostatica
Risposta: ycp = 2,8 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Profondità del baricentro e area
yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m
A = H·b = 3·3 = 9 m²
Forza risultante
F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2,5·9 = 194,2 kN
Centro di spinta
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Ic = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2,5 + 6,75/(2,5·9) = 2,8 m
Risposta
ycp = 2,8 m
3.Continuità e Bernoulli
Risposta: Q = 85 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Continuità
v1 = v2·(100/150)² = 0,4444·v2
Bernoulli tra ingresso e gola
Il tubo è orizzontale, quindi cambiano solo pressione e velocità.
p1 − p2 = ½ρv2²(1 − β⁴)
v2 = √(2·47000/(1000·(1 − 0,1975))) = 10,82 m/s
v1 = 4,81 m/s
Portata
Q = A2·v2 = 0,007854·10,82 = 0,085 m³/s = 85 L/s
Risposta
Q = 85 L/s
4.Continuità e Bernoulli
Risposta: p2 = 105,4 kPa
Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.
Continuità e Bernoulli
Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.
v2 = v1·(d1/d2)² = 1,5·(200/75)² = 10,67 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(1,5² − 10,67²)/1000 = −55,76 kPa
ρgΔz = 1000·9,81·6/1000 = 58,86 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) − ρgΔz = 220 + (−55,76) − 58,86 = 105,4 kPa
Risposta
p2 = 105,4 kPa
5.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: hf = 10,19 m
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Altezza cinetica
V²/(2g) = 2²/(2·9,81) = 0,2039 m
Darcy–Weisbach
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(500/0,25)·2²/(2·9,81) = 10,19 m
Risposta
hf = 10,19 m
6.Attrito nei condotti e perdite di carico
Risposta: Q = 177,7 L/s
Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach hf = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate hm = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = hf + hm, compresa la perdita allo sbocco K = 1.
Coefficienti di perdita
f·L/D = 0,02·150/0,2 = 15
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7
Equazione dell’energia
Entrambe le superfici sono aperte all’aria e praticamente in quiete, quindi tutto Δz viene perso nel tubo.
37 = (15 + 7,7)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·37/22,7) = 5,655 m/s
Portata
Q = V·π·D²/4 = 5,655·0,03142 = 0,1777 m³/s = 177,7 L/s
Risposta
Q = 177,7 L/s
7.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 49,05 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Potenza idraulica
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·36 = 35,32 kW
Potenza all’albero
Pshaft = Ph/η = 35,32/0,72 = 49,05 kW
Risposta
Pshaft = 49,05 kW
8.Pompe e potenza delle pompe
Risposta: Pshaft = 2,518 kW
Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: Pshaft = Ph/ηpump, e il motore assorbe Pel = Pshaft/ηmotor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.
Velocità
V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m
Perdite di carico
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 4)·0,1859 = 4,834 m
Prevalenza della pompa
H = Δz + hL = 8 + 4,834 = 12,83 m
Potenza all’albero
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,015·12,83/0,75 = 2,518 kW
Risposta
Pshaft = 2,518 kW
9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: Q = 1,552 m³/s
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (3,5 + 1,5·0,7)·0,7 = 3,185 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·0,7·√(1 + 1,5²) = 6,024 m
R = A/P = 0,5287 m
Velocità
V = (1/0,03)·0,52872/3·0,00051/2 = 0,4874 m/s
Portata
Q = A·V = 3,185·0,4874 = 1,552 m³/s
Risposta
Q = 1,552 m³/s
10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)
Risposta: S = 0,001859 m/m
Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R2/3·S1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.
Geometria
A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1,5·1,2)·1,2 = 3,96 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,2·√(1 + 1,5²) = 5,827 m
R = A/P = 0,6796 m
Risolvi Manning rispetto a S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,012·11/(3,96·0,773) = 0,04312
S = 0,04312² = 0,001859
Risposta
S = 0,001859
Questo corrisponde a un dislivello di 1,859 m per chilometro.
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