Idraulica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 10 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Spinta idrostatica

Pressione a una profondità: p = ρgh
Forza su una parete verticale: F = ρg·h_c·A
Centro di spinta: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Rettangolo: I_c = bH³/12

Continuità e Bernoulli

Continuità: A₁v₁ = A₂v₂
Bernoulli: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Portata: Q = A·v
Area del cerchio: A = πd²/4

Attrito nei condotti e perdite di carico

Numero di Reynolds: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Regime di moto: laminare sotto Re ≈ 2000, turbolento sopra Re ≈ 4000
Velocità media: V = Q/A, A = π·D²/4
Darcy–Weisbach: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Perdite localizzate: h_m = ΣK·V²/(2g)
Valori tipici di K: imbocco 0,5, sbocco 1,0, curva a 90° ≈ 0,3
Caduta di pressione: Δp = ρ·g·h_f
Due serbatoi aperti: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Sbocco libero: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Pompe e potenza delle pompe

Potenza idraulica: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Potenza all’albero: P_shaft = P_h/η_pump
Potenza elettrica: P_el = P_shaft/η_motor
Prevalenza della pompa: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Perdite dell’impianto: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Equazione di Manning: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Portata: Q = A·V
Raggio idraulico: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y
Trapezio (scarpa z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Tubo circolare, pieno o mezzo pieno: R = D/4
Pendenza richiesta: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Esercizi

1.Spinta idrostaticaMedia

Una paratoia rettangolare verticale larga 2 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 0,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Spinta idrostaticaDifficile

Una paratoia rettangolare verticale larga 1 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua di mare, con il bordo superiore 2 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.

d = 2 mH = 3 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Continuità e BernoulliMedia

L’acqua scorre in un tubo orizzontale che si restringe da 75 mm a 25 mm. Nel tratto largo la pressione è 100 kPa e la velocità è 1 m/s. Trascurando le perdite, trova la pressione p₂ nel tratto stretto.

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 100 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Continuità e BernoulliDifficile

Un venturimetro orizzontale (ingresso 300 mm, gola 150 mm) è attraversato da acqua. Un manometro differenziale a U a mercurio collegato tra ingresso e gola mostra un dislivello di 50 mm. Il coefficiente di efflusso è 0,99. Trova la portata Q. Usa ρ = 1000 kg/m³ per l’acqua, 13 600 kg/m³ per il mercurio e g = 9,81 m/s².

d₁ = 300 mmd₂ = 150 mmΔh = 50 mmC_d = 0,99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di caricoMedia

Acqua scorre con una portata di 4 L/s in un tubo lungo 400 m con diametro interno di 50 mm. Usa il fattore di attrito di Darcy f = 0,025 e g = 9,81 m/s². Trova la perdita di carico per attrito h_f.

Q = 4 L/sL = 400 mD = 50 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Attrito nei condotti e perdite di caricoDifficile

Un tubo lungo 100 m con diametro interno di 250 mm (fattore di attrito di Darcy f = 0,015) parte da un serbatoio aperto e scarica come getto libero in aria. Le perdite localizzate sono: un imbocco a spigolo vivo (K = 0,5), 3 curve (K = 0,3 ciascuna) e una valvola (K = 2). Usa g = 9,81 m/s². A quale altezza H deve trovarsi il pelo libero del serbatoio sopra lo sbocco del tubo per avere una portata di 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2

H = m

7.Pompe e potenza delle pompeMedia

Una pompa con rendimento del 60% eroga 15 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) con una prevalenza di 60 m. Usa g = 9,81 m/s². Trova la potenza all’albero P_shaft necessaria, in kW.

Q = 15 L/sH = 60 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Pompe e potenza delle pompeDifficile

Una pompa trasferisce 60 L/s di acqua (ρ = 1000 kg/m³) da un serbatoio inferiore aperto a una vasca superiore il cui pelo libero è 9 m più in alto. Il tubo è lungo 500 m, con diametro interno di 200 mm e fattore di attrito di Darcy f = 0,022; i coefficienti di perdita localizzata sommano a ΣK = 6 (imbocco e sbocco compresi). Usa g = 9,81 m/s². Trova la prevalenza H che la pompa deve fornire.

Q = 60 L/sΔz = 9 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 6

H = m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Media

Un collettore per acque meteoriche in calcestruzzo con diametro interno di 450 mm scorre mezzo pieno. n di Manning = 0,013 e la pendenza è S = 0,002. Trova la portata Q in m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,002

Q = m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)Difficile

Un canale rettangolare in terra pulita largo 6 m deve convogliare 6,4 m³/s in moto uniforme con un’altezza d’acqua di 1 m. n di Manning = 0,022. Trova la pendenza del fondo richiesta S (in m/m).

Q = 6,4 m³/sb = 6 my = 1 mn = 0,022

S = m/m

3Soluzioni

1.Spinta idrostatica

Risposta: F = 85,84 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·5 = 85,84 kN

Risposta

F = 85,84 kN

2.Spinta idrostatica

Risposta: F = 105,6 kN

Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·y_c·A. Agisce nel centro di spinta, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), che si trova sempre sotto il baricentro.

Profondità del baricentro e area

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Forza risultante

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,5·3 = 105,6 kN

Risposta

F = 105,6 kN

3.Continuità e Bernoulli

Risposta: p₂ = 60 kPa

Continuità e Bernoulli: per un fluido incomprimibile la portata è la stessa in ogni sezione, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Lungo una linea di flusso senza perdite, p + ½ρv² + ρgz è costante, quindi dove il fluido è più veloce o più in alto la sua pressione è minore.

Continuità e Bernoulli

Lavora in Pa, poi dividi per 1000 per ottenere kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/25)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 100 + (−40) = 60 kPa

Risposta

p₂ = 60 kPa

4.Continuità e Bernoulli

Risposta: Q = 63,52 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Differenza di pressione dal manometro

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,05 = 6180 Pa

Velocità nella gola

Continuità e Bernoulli insieme danno la velocità ideale nella gola.

β = 150/300 = 0,5

v₂ = √(2·6180/(1000·(1 − 0,0625))) = 3,631 m/s

Portata reale

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,99·0,01767·3,631 = 0,06352 m³/s = 63,52 L/s

Risposta

Q = 63,52 L/s

5.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: h_f = 42,3 m

Moto nei condotti: il numero di Reynolds Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ distingue il moto laminare (Re sotto circa 2000) da quello turbolento (sopra circa 4000). L’attrito lungo un tubo comporta la perdita di carico di Darcy–Weisbach h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Raccordi, valvole, imbocco e sbocco aggiungono perdite localizzate h_m = ΣK·V²/(2g). Tra le superfici libere di due serbatoi aperti l’equazione dell’energia dà Δz = h_f + h_m, compresa la perdita allo sbocco K = 1.

Velocità media

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,004/0,001963 = 2,037 m/s

Altezza cinetica

V²/(2g) = 2,037²/(2·9,81) = 0,2115 m

Darcy–Weisbach

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(400/0,05)·2,037²/(2·9,81) = 42,3 m

Risposta

h_f = 42,3 m

6.Attrito nei condotti e perdite di carico

Risposta: H = 3,168 m

Velocità

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Coefficienti di perdita

f·L/D = 0,015·100/0,25 = 6

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Equazione dell’energia

Il getto in uscita conserva la sua altezza cinetica; non è una perdita, ma deve essere fornita.

H = (1 + 6 + 3,4)·0,3046 = 3,168 m

Risposta

H = 3,168 m

7.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: P_shaft = 14,72 kW

Potenza di una pompa: la potenza ceduta all’acqua è la potenza idraulica P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. L’albero deve fornire di più perché la pompa ha delle perdite: P_shaft = P_h/η_pump, e il motore assorbe P_el = P_shaft/η_motor. La prevalenza H della pompa si ricava dall’equazione dell’energia: dislivello geodetico + altezza piezometrica + tutte le perdite distribuite e localizzate.

Potenza idraulica

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·60 = 8,829 kW

Potenza all’albero

P_shaft = P_h/η = 8,829/0,6 = 14,72 kW

Risposta

P_shaft = 14,72 kW

8.Pompe e potenza delle pompe

Risposta: H = 20,34 m

Velocità

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Perdite di carico

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (55 + 6)·0,1859 = 11,34 m

Prevalenza della pompa

Entrambe le superfici sono aperte e praticamente in quiete, quindi i termini di pressione e di velocità si annullano.

H = Δz + h_L = 9 + 11,34 = 20,34 m

Risposta

H = 20,34 m

9.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: Q = 0,06375 m³/s

Equazione di Manning (SI): per il moto uniforme in un canale a pelo libero V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 e Q = A·V, con n il coefficiente di scabrezza, S la pendenza del fondo (m/m) e R = A/P il raggio idraulico: area bagnata divisa per il perimetro bagnato. In P conta solo il contorno a contatto con l’acqua, non la superficie libera. Rettangolo: A = b·y, P = b + 2y. Trapezio con scarpa delle sponde z:1 (orizzontale:verticale): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Un tubo circolare pieno o mezzo pieno ha R = D/4.

Geometria

A = 0,07952 m², R = D/4 = 0,1125 m

Velocità

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,002^1/2 = 0,8017 m/s

Portata

Q = A·V = 0,07952·0,8017 = 0,06375 m³/s

Risposta

Q = 0,06375 m³/s

10.Moto nei canali a pelo libero (Manning)

Risposta: S = 0,0008081 m/m

Geometria

A = b·y = 6·1 = 6 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1 = 8 m

R = A/P = 0,75 m

Risolvi Manning rispetto a S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·6,4/(6·0,8255) = 0,02843

S = 0,02843² = 0,0008081

Risposta

S = 0,0008081

Questo corrisponde a un dislivello di 0,8081 m per chilometro.

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