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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Ingranaggi e rotismi

Ruote dentate in presa: n₁·N₁ = n₂·N₂
Momento torcente: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Potenza: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rotismo composto: rapporto totale = prodotto dei rapporti dei singoli stadi

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrazioni meccaniche

Frequenza naturale: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dalla freccia statica: ω_n = √(g/δ_st)
Smorzamento critico: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Fattore di smorzamento: ζ = c/c_c
Frequenza smorzata: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Decremento logaritmico: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Molle in parallelo: k = k₁ + k₂
Molle in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Esercizi

1.Ingranaggi e rotismiMedia

Un motore da 0,75 kW a 1440 rpm aziona una vite senza fine a 1 principi. La ruota elicoidale ha 50 denti e la trasmissione ha un rendimento del 75%. Trova la coppia in uscita T_w sull’albero della ruota.

z = 1N_w = 50n = 1440 rpmP = 0,75 kWη = 75%

T_w = N·m

2.Ingranaggi e rotismiDifficile

In un rotismo composto, la ruota A (15 denti) sull’albero di ingresso gira a 960 rpm e aziona la ruota B (72 denti). La ruota C (36 denti) è calettata sullo stesso albero di B e aziona la ruota D sull’albero di uscita. L’uscita deve girare a 90 rpm. Quanti denti N_D deve avere la ruota D?

n_in = 960 rpmA = 15B = 72C = 36n_out = 90 rpm

N_D =

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno a gradini in acciaio è incastrato in A. Il tratto AB ha diametro 60 mm e lunghezza 3 m; il tratto BC ha diametro 30 mm e lunghezza 2,5 m. Un momento torcente di 250 N·m agisce all’estremo libero C. Trova l’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

T = 250 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 2,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in alluminio di diametro 50 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 1000 N·m agisce in B, a 1 m da A, e un momento torcente di 100 N·m nello stesso verso agisce all’estremo libero C, 0,8 m più avanti. Trova il modulo dell’angolo di torsione φ_C dell’estremo C, in gradi.

d = 50 mmT_B = 1000 N·mT_C = 100 N·mAB = 1 mBC = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 35° in senso antiorario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = 60 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −10 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 60° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

7.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di rame sotto il carico assiale.

P = 30 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 90 kNtratto 1: Ø25 mm, 1,5 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 2 m, rame (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2 mE = 200 GPa (acciaio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Vibrazioni meccanicheMedia

In una prova di vibrazioni libere su un sistema massa–molla smorzato, a un picco di spostamento di 50 mm segue, 3 cicli dopo, un picco di 5,1 mm. Trova il fattore di smorzamento ζ.

x₀ = 50 mmx₃ = 5,1 mmn = 3

ζ =

12.Vibrazioni meccanicheDifficile

Una massa di 10 kg è appesa a due molle affiancate (in parallelo), con rigidezze k₁ = 10 kN/m e k₂ = 20 kN/m. La massa resta orizzontale. Trascura lo smorzamento e le masse delle molle. Trova la frequenza naturale f_n delle vibrazioni verticali in Hz.

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Soluzioni

1.Ingranaggi e rotismi

Risposta: T_w = 186,5 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Velocità della ruota

n_w = n·z/N_w = 1440·1/50 = 28,8 rpm

Momento torcente in uscita

ω_w = 2π·28,8/60 = 3,016 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,75·750/3,016 = 186,5 N·m

Risposta

T_w = 186,5 N·m

2.Ingranaggi e rotismi

Risposta: N_D = 80

Velocità dell’albero intermedio

n_B = n_C = 960·15/72 = 200 rpm

Denti della ruota D

N_D = C·n_C/n_out = 36·200/90 = 80

Risposta

N_D = 80

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 6,051 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momenti d’inerzia polari

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Torsione di ciascun tratto

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·3000/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,007368 rad

φ_BC = 250000·2500/(80000·79522) = 0,09824 rad

Torsione totale

φ_C = 0,007368 + 0,09824 = 0,1056 rad = 6,051°

Risposta

φ_C = 6,051°

4.Torsione degli alberi

Risposta: φ_C = 4,238 °

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 1000 = 1100 N·m

Torsione di ciascun tratto

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1,1 × 10⁶·1000/(26000·613592) = 0,06895 rad

φ_BC = 100000·800/(26000·613592) = 0,005015 rad

Torsione dell’estremo C

φ_C = 0,06895 + 0,005015 = 0,07397 rad → |φ_C| = 4,238°

Risposta

φ_C = 4,238°

5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = 105,6 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = 80 − (−20)·0,342 − (−20)·0,9397 = 105,6 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = 54,37 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = 105,6 MPa

6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −6,34 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −−10·0,866 + 30·−0,5 = −6,34 MPa

Risposta

τ_θ = −6,34 MPa

7.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 3,188 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/201,1 = 149,2 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for rame = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 149,2/117000 = 0,001275 = 1275 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,001275·2500 mm = 3,188 mm

Risposta

δ = 3,188 mm

8.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 17,53 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 183,3 MPa

σ₂ = 795,8 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 183,3·1500/70000 = 3,929 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 795,8·2000/117000 = 13,6 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 17,53 mm

Risposta

δ = 17,53 mm

9.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 5,14 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/5000² = 5140 N = 5,14 kN

Risposta

P_cr = 5,14 kN

10.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 12,34 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Risposta

σ_cr = 12,34 MPa

11.Vibrazioni meccaniche

Risposta: ζ = 0,1202

Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ω_n = √(k/m) in rad/s, e f_n = ω_n/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/c_c, con smorzamento critico c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Decremento logaritmico

δ = (1/3)·ln(50/5,1) = 0,7609

Fattore di smorzamento

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7609/√(39,48 + 0,579) = 0,1202

Risposta

ζ = 0,1202

12.Vibrazioni meccaniche

Risposta: f_n = 8,717 Hz

Rigidezza equivalente

Le molle affiancate hanno la stessa deformazione e sommano le loro forze, quindi le rigidezze si sommano semplicemente: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 20 = 30 kN/m

Frequenza naturale

ω_n = √(30000/10) = 54,77 rad/s

f_n = 54,77/(2π) = 8,717 Hz

Risposta

f_n = 8,717 Hz

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