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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Ingranaggi e rotismi

Ruote dentate in presa: n₁·N₁ = n₂·N₂
Momento torcente: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Potenza: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rotismo composto: rapporto totale = prodotto dei rapporti dei singoli stadi

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrazioni meccaniche

Frequenza naturale: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dalla freccia statica: ω_n = √(g/δ_st)
Smorzamento critico: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Fattore di smorzamento: ζ = c/c_c
Frequenza smorzata: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Decremento logaritmico: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Molle in parallelo: k = k₁ + k₂
Molle in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Esercizi

1.Ingranaggi e rotismiMedia

Una vite senza fine a 3 principi gira a 2900 rpm e aziona una ruota elicoidale con 72 denti. Trova la velocità n_w della ruota.

z = 3N_w = 72n = 2900 rpm

n_w = rpm

2.Ingranaggi e rotismiDifficile

Un motore da 1,1 kW a 960 rpm aziona la ruota A (36 denti), che ingrana con la ruota B (72 denti). La ruota C (24 denti), sullo stesso albero di B, aziona la ruota D (48 denti) sull’albero di uscita. Ogni ingranamento ha un rendimento del 98%. Trova la coppia in uscita T_out.

P = 1,1 kWn_in = 960 rpmA = 36B = 72C = 24D = 48η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 250 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno deve trasmettere 75 kW a 750 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 40 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 150 MPa, σᵧ = 120 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 60 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 45° in senso orario rispetto all’asse x.

σ_x = 60 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

7.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di rame sotto il carico assiale.

P = 20 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

δ = mm

8.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 25 kNtratto 1: Ø25 mm, 2 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 0,5 m, acciaio (E = 200 GPa)

δ = mm

9.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (alluminio)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 55 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 55 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

11.Vibrazioni meccanicheMedia

In una prova di vibrazioni libere su un sistema massa–molla smorzato, a un picco di spostamento di 30 mm segue, 5 cicli dopo, un picco di 6,2 mm. Trova il fattore di smorzamento ζ.

x₀ = 30 mmx₅ = 6,2 mmn = 5

ζ =

12.Vibrazioni meccanicheDifficile

Una massa di 5 kg è appesa a due molle collegate una dopo l’altra (in serie): la molla superiore ha k₁ = 15 kN/m e quella inferiore k₂ = 40 kN/m. Trova la rigidezza equivalente k_eq del sistema di molle in kN/m.

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Soluzioni

1.Ingranaggi e rotismi

Risposta: n_w = 120,8 rpm

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Velocità della ruota

n_w = n·z/N_w = 2900·3/72 = 120,8 rpm

Risposta

n_w = 120,8 rpm

2.Ingranaggi e rotismi

Risposta: T_out = 42,03 N·m

Velocità in uscita

n_out = 960·(36/72)·(24/48) = 240 rpm

ω_out = 2π·240/60 = 25,13 rad/s

Potenza e coppia in uscita

P_out = 1100·0,98² = 1056 W

T_out = P_out/ω_out = 1056/25,13 = 42,03 N·m

Risposta

T_out = 42,03 N·m

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 0,8549 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(80000·251327) = 0,01492 rad

φ = 0,01492·180/π = 0,8549°

Risposta

φ = 0,8549°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 49,54 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·40)) = 49,54 mm

Risposta

d = 49,54 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 18,03 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((150 − 120)/2)² + 10²) = 18,03 MPa

Risposta

τ_max = 18,03 MPa

6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 15 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 35 + 25·0 + 20·−1 = 15 MPa

Risposta

σ_θ = 15 MPa

7.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 0,4251 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for rame = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 99,47/117000 = 0,0008502 = 850,2 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,0008502·500 mm = 0,4251 mm

Risposta

δ = 0,4251 mm

8.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 1,571 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 50,93 MPa

σ₂ = 221 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 50,93·2000/100000 = 1,019 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 221·500/200000 = 0,5526 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,571 mm

Risposta

δ = 1,571 mm

9.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 32,75 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3000² = 32752 N = 32,75 kN

Risposta

P_cr = 32,75 kN

10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 32,64 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·55000 = 110000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·1000²/(π³·200000))^(1/4) = 32,64 mm

Risposta

d = 32,64 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 122,5, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

11.Vibrazioni meccaniche

Risposta: ζ = 0,05012

Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ω_n = √(k/m) in rad/s, e f_n = ω_n/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/c_c, con smorzamento critico c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Decremento logaritmico

δ = (1/5)·ln(30/6,2) = 0,3153

Fattore di smorzamento

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3153/√(39,48 + 0,09943) = 0,05012

Risposta

ζ = 0,05012

12.Vibrazioni meccaniche

Risposta: k_eq = 10,91 kN/m

Rigidezza equivalente

Le molle in serie hanno la stessa forza e sommano le loro deformazioni, quindi si combinano come reciproci: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/40 → k_eq = 15·40/(15 + 40) = 10,91 kN/m

Risposta

k_eq = 10,91 kN/m

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