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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Ingranaggi e rotismi

Ruote dentate in presa: n₁·N₁ = n₂·N₂
Momento torcente: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Potenza: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rotismo composto: rapporto totale = prodotto dei rapporti dei singoli stadi

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrazioni meccaniche

Frequenza naturale: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dalla freccia statica: ω_n = √(g/δ_st)
Smorzamento critico: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Fattore di smorzamento: ζ = c/c_c
Frequenza smorzata: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Decremento logaritmico: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Molle in parallelo: k = k₁ + k₂
Molle in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Esercizi

1.Ingranaggi e rotismiMedia

Due alberi paralleli distano 80 mm. Devono essere collegati da una coppia di ruote dentate cilindriche a denti diritti con modulo di 2 mm e un rapporto di riduzione di 4 : 1. Quanti denti N₂ deve avere la ruota?

a = 80 mmm = 2 mmi = 4

N₂ =

2.Ingranaggi e rotismiDifficile

In un rotismo composto, la ruota A (24 denti) sull’albero di ingresso, che gira a 3000 rpm, aziona la ruota B (30 denti). La ruota C (24 denti) è calettata sullo stesso albero di B e aziona la ruota D (36 denti) sull’albero di uscita. Trova la velocità di uscita n_out.

n_in = 3000 rpmA = 24B = 30C = 24D = 36

n_out = rpm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 200 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in ottone trasmette 50 kW a 500 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 60 MPa e la torsione non deve superare 0,25° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 50 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = −60 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θ_s, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 0 MPa, σᵧ = −60 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 60° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

7.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di rame, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 105 kNtratto 1: Ø35 mm, 1,5 m, ottone (E = 100 GPa)tratto 2: Ø12 mm, 0,5 m, ottone (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acciaio)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Vibrazioni meccanicheMedia

In una prova di vibrazioni libere su un sistema massa–molla smorzato, a un picco di spostamento di 50 mm segue, 5 cicli dopo, un picco di 1,1 mm. Trova il fattore di smorzamento ζ.

x₀ = 50 mmx₅ = 1,1 mmn = 5

ζ =

12.Vibrazioni meccanicheDifficile

Una massa di 25 kg è appesa a due molle affiancate (in parallelo), con rigidezze k₁ = 60 kN/m e k₂ = 30 kN/m. La massa resta orizzontale. Trova la rigidezza equivalente k_eq del sistema di molle in kN/m.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3Soluzioni

1.Ingranaggi e rotismi

Risposta: N₂ = 64

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Numero totale di denti

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·80/2 = 80

Ripartisci secondo il rapporto

N₁ = 80/(1 + 4) = 16

N₂ = 4·16 = 64

Risposta

N₂ = 64

2.Ingranaggi e rotismi

Risposta: n_out = 1600 rpm

Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.

Primo stadio

n_B = 3000·24/30 = 2400 rpm = n_C

Secondo stadio

n_out = 2400·24/36 = 1600 rpm

Risposta

n_out = 1600 rpm

rapporto totale = 1,875 : 1

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 0,7183 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(39000·613592) = 0,01254 rad

φ = 0,01254·180/π = 0,7183°

Risposta

φ = 0,7183°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 86,95 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 50000/52,36 = 954,9 N·m

Diametro per la resistenza

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·60)) = 43,28 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·39000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 86,95 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(43,28, 86,95) = 86,95 mm

Risposta

d = 86,95 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θ_s = 19,9 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θ_s = 30/39,05 = 0,7682, sin 2θ_s = −(−25)/39,05 = 0,6402

2θ_s = atan2(25, 30) = 39,81°

Angolo sull’elemento

θ_s = 19,9°

verifica: θ_s − θ_p = 19,9 − 64,9 = −45°

Risposta

θ_s = 19,9°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_θ = −40,98 MPa

Equazione di trasformazione

τ_θ = −30·0,866 + 30·−0,5 = −40,98 MPa

Risposta

τ_θ = −40,98 MPa

7.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 2089 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 120·1000/490,9 = 244,5 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for rame = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 244,5/117000 = 0,002089 = 2089 µε

Risposta

ε = 2089 µε

8.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 6,279 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 109,1 MPa

σ₂ = 928,4 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 109,1·1500/100000 = 1,637 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 928,4·500/100000 = 4,642 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,279 mm

Risposta

δ = 6,279 mm

9.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 10,01 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2800² = 10011 N = 10,01 kN

Risposta

P_cr = 10,01 kN

10.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 16,11 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/10 = 350

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/350² = 16,11 MPa

Risposta

σ_cr = 16,11 MPa

11.Vibrazioni meccaniche

Risposta: ζ = 0,1206

Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ω_n = √(k/m) in rad/s, e f_n = ω_n/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/c_c, con smorzamento critico c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Decremento logaritmico

δ = (1/5)·ln(50/1,1) = 0,7633

Fattore di smorzamento

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7633/√(39,48 + 0,5827) = 0,1206

Risposta

ζ = 0,1206

12.Vibrazioni meccaniche

Risposta: k_eq = 90 kN/m

Rigidezza equivalente

Le molle affiancate hanno la stessa deformazione e sommano le loro forze, quindi le rigidezze si sommano semplicemente: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 30 = 90 kN/m

Risposta

k_eq = 90 kN/m

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