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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Ingranaggi e rotismi

Ruote dentate in presa: n₁·N₁ = n₂·N₂
Momento torcente: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Potenza: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rotismo composto: rapporto totale = prodotto dei rapporti dei singoli stadi

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrazioni meccaniche

Frequenza naturale: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dalla freccia statica: ω_n = √(g/δ_st)
Smorzamento critico: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Fattore di smorzamento: ζ = c/c_c
Frequenza smorzata: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Decremento logaritmico: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Molle in parallelo: k = k₁ + k₂
Molle in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Esercizi

1.Ingranaggi e rotismiMedia

Due alberi paralleli distano 144 mm. Devono essere collegati da una coppia di ruote dentate cilindriche a denti diritti con modulo di 4 mm e un rapporto di riduzione di 3,5 : 1. Quanti denti N₂ deve avere la ruota?

a = 144 mmm = 4 mmi = 3,5

N₂ =

2.Ingranaggi e rotismiDifficile

In un rotismo epicicloidale il solare ha 16 denti e ogni satellite ha 20 denti. Il portatreno è bloccato e il solare è azionato a 1500 rpm. Trova la velocità n_r della corona (in modulo).

N_s = 16N_p = 20n_s = 1500 rpm

n_r = rpm

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 200 N·md = 20 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio di diametro 60 mm è incastrato in A. Un momento torcente di 500 N·m agisce in B, a 2 m da A, e un momento torcente di 1500 N·m in verso opposto agisce all’estremo libero C, 2 m più avanti. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

d = 60 mmT_B = 500 N·mT_C = 1500 N·mAB = 2 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 20 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

Un serbatoio cilindrico a parete sottile con diametro interno di 1500 mm e spessore di parete di 12 mm contiene gas a una pressione relativa di 1 MPa. È realizzato con lamiera saldata lungo una cordatura elicoidale a 35° rispetto all’asse del cilindro. Trova la tensione normale σ_n che agisce attraverso la cordatura di saldatura.

D = 1500 mmt = 12 mmp = 1 MPaα = 35°

σ_n = MPa

7.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova la deformazione assiale ε nella barra di acciaio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 30 mmL = 1 mE = 200 GPa

ε = µε

8.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 90 kNtratto 1: Ø40 mm, 1 m, alluminio (E = 70 GPa)tratto 2: Ø16 mm, 2 m, ottone (E = 100 GPa)

δ = mm

9.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Vibrazioni meccanicheMedia

In una prova di vibrazioni libere su un sistema massa–molla smorzato, a un picco di spostamento di 15 mm segue, 2 cicli dopo, un picco di 9,1 mm. Trova il fattore di smorzamento ζ.

x₀ = 15 mmx₂ = 9,1 mmn = 2

ζ =

12.Vibrazioni meccanicheDifficile

Una massa di 25 kg è appesa a due molle affiancate (in parallelo), con rigidezze k₁ = 25 kN/m e k₂ = 100 kN/m. La massa resta orizzontale. Trova la rigidezza equivalente k_eq del sistema di molle in kN/m.

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3Soluzioni

1.Ingranaggi e rotismi

Risposta: N₂ = 56

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Numero totale di denti

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·144/4 = 72

Ripartisci secondo il rapporto

N₁ = 72/(1 + 3,5) = 16

N₂ = 3,5·16 = 56

Risposta

N₂ = 56

2.Ingranaggi e rotismi

Risposta: n_r = 428,6 rpm

Rotismi epicicloidali: le velocità di solare, corona e portatreno sono legate dalla formula di Willis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: visto dal portatreno, il rotismo è un rotismo ordinario con i satelliti come ruote oziose. Bloccando un elemento il rotismo diventa un riduttore a rapporto unico.

Denti della corona

N_r = N_s + 2·N_p = 16 + 2·20 = 56

Formula di Willis con il portatreno fisso

Con n_c = 0 il solare aziona la corona attraverso i satelliti, che fanno da ruote oziose.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1500·16/56 = −428,6 rpm

|n_r| = 428,6 rpm

Risposta

n_r = 428,6 rpm

La corona gira in verso opposto al solare.

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 22,8 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·15708) = 0,3979 rad

φ = 0,3979·180/π = 22,8°

Risposta

φ = 22,8°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 35,37 MPa

Momenti torcenti interni

Verso di T_C assunto come positivo.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 500 = 1000 N·m

Tensione tangenziale massima

Il tratto con il momento torcente interno maggiore ha la tensione maggiore (stesso diametro).

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1,5 × 10⁶/(π·60³) = 35,37 MPa

Risposta

τ_max = 35,37 MPa

5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 46,1 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((20 − −50)/2)² + 30²) = 46,1 MPa

Risposta

τ_max = 46,1 MPa

6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_n = 52,22 MPa

Tensioni nella parete

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1·750/12 = 62,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 31,25 MPa

Trasforma sulla cordatura

Prendi x lungo l’asse (σ_a) e y in direzione circonferenziale (σ_h). La normale alla cordatura forma 90° − α con l’asse.

σ_n = 31,25·sin²35° + 62,5·cos²35° = 52,22 MPa

Risposta

σ_n = 52,22 MPa

7.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 636,6 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 90·1000/706,9 = 127,3 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/200000 = 0,0006366 = 636,6 µε

Risposta

ε = 636,6 µε

8.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 9,976 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 71,62 MPa

σ₂ = 447,6 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 71,62·1000/70000 = 1,023 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 447,6·2000/100000 = 8,952 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,976 mm

Risposta

δ = 9,976 mm

9.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 5,264 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Un rettangolo sbanda attorno al suo asse debole, usando il cubo della dimensione minore.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/5000² = 5264 N = 5,264 kN

Risposta

P_cr = 5,264 kN

10.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 17,77 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/15 = 333,3

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/333,3² = 17,77 MPa

Risposta

σ_cr = 17,77 MPa

11.Vibrazioni meccaniche

Risposta: ζ = 0,03974

Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ω_n = √(k/m) in rad/s, e f_n = ω_n/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/c_c, con smorzamento critico c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Decremento logaritmico

δ = (1/2)·ln(15/9,1) = 0,2499

Fattore di smorzamento

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,2499/√(39,48 + 0,06244) = 0,03974

Risposta

ζ = 0,03974

12.Vibrazioni meccaniche

Risposta: k_eq = 125 kN/m

Rigidezza equivalente

Le molle affiancate hanno la stessa deformazione e sommano le loro forze, quindi le rigidezze si sommano semplicemente: k = k₁ + k₂.

k_eq = 25 + 100 = 125 kN/m

Risposta

k_eq = 125 kN/m

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