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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Ingranaggi e rotismi

Ruote dentate in presa
n1·N1 = n2·N2
Momento torcente
T2 = T1·(N2/N1)·η
Potenza
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rotismo composto
rapporto totale = prodotto dei rapporti dei singoli stadi

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale
τ = T·r/J
Albero pieno
J = πd⁴/32
Albero cavo
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione
φ = TL/(GJ)
Potenza
P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

  1. Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
  2. Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
  3. Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
  4. Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro
C = (σx + σy)/2
Raggio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensioni principali
σ1,2 = C ± R
Direzione principale
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Piano inclinato
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Metodo

  1. Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
  4. Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale
σ = F/A
Deformazione
ε = ΔL/L
Legge di Hooke
σ = E·ε
Allungamento
ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica
εT = α·ΔT

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera
K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica
σcr = Pcr/A
Snellezza
λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrazioni meccaniche

Frequenza naturale
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
Dalla freccia statica
ωn = √(g/δst)
Smorzamento critico
cc = 2√(km) = 2mωn
Fattore di smorzamento
ζ = c/cc
Frequenza smorzata
ωd = ωn√(1 − ζ²)
Decremento logaritmico
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Molle in parallelo
k = k1 + k2
Molle in serie
1/k = 1/k1 + 1/k2

2Esercizi

1.Ingranaggi e rotismiMedia
N1​ = 50N2​ = 60

Un motore da 1,5 kW che gira a 1450 rpm aziona un pignone con 50 denti, che ingrana con una ruota con 60 denti. La coppia di ruote ha un rendimento del 98 %. Trova il momento torcente T1 sull’albero del motore.

P = 1,5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 50N2 = 60η = 98%
T1 = N·m
2.Ingranaggi e rotismiDifficile
A = 16B = 80C = 15D = 40

In un rotismo composto, la ruota A (16 denti) sull’albero di ingresso, che gira a 1500 rpm, aziona la ruota B (80 denti). La ruota C (15 denti) è calettata sullo stesso albero di B e aziona la ruota D (40 denti) sull’albero di uscita. Trova la velocità di uscita nout.

nin = 1500 rpmA = 16B = 80C = 15D = 40
nout = rpm
3.Torsione degli alberiMedia
T = 200 N·md = 25 mmL = 3 mφ = ?

Un albero pieno di ottone è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 200 N·md = 25 mmL = 3 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsione degli alberiDifficile
Td = ?

Un albero pieno deve trasmettere 10 kW a 1000 giri/min senza che la tensione tangenziale superi 60 MPa. Trova il diametro minimo d adatto.

P = 10 kWN = 1000 rpmτallow = 60 MPa
d = mm
5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia
σx​ = 90σy​ = 50τxy​ = −40MPa

Un punto ha σₓ = 90 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −40 MPa (trazione positiva). Trova l’angolo θs, compreso tra −90° e 90°, dall’asse x alla normale del piano su cui la tensione tangenziale ha il suo valore massimo positivo +R (tangenziale positiva nello stesso verso di τₓᵧ).

σx = 90 MPaσy = 50 MPaτxy = −40 MPa
θs = °
6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile
σx​ = 120σy​ = 30τxy​ = −10MPa

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 120 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (trazione positiva). Trova la tensione tangenziale τθ su un piano la cui normale è ruotata di 35° in senso antiorario rispetto all’asse x (positiva nello stesso senso di τₓᵧ).

σx = 120 MPaσy = 30 MPaτxy = −10 MPaθ = 35°
τθ = MPa
7.Tensione e deformazione assialeMedia
Ø 12 mmAcciaio1 mP = 115 kN

Trova la deformazione assiale ε nella barra di acciaio, in microdeformazioni (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 12 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
8.Tensione e deformazione assialeDifficile
Ø 30 mmAcciaio2 mØ 20 mmRame1,5 mP = 20 kN

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 20 kNtratto 1: Ø30 mm, 2 m, acciaio (E = 200 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 1,5 m, rame (E = 117 GPa)
δ = mm
9.Instabilità delle colonneMedia
PL = 5 md = 60 mmsezione trasversale

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e incernierata in cima. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico Pcr.

L = 5 mE = 70 GPa (alluminio)d = 60 mm
Pcr = kN
10.Instabilità delle colonneDifficile
P = 105 kNL = 2 md = ?sezione trasversale

Una colonna tonda piena di lunghezza L in alluminio è incernierata a entrambi gli estremi. Deve portare 105 kN con un coefficiente di sicurezza di 3 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 105 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (alluminio)
d = mm
11.Vibrazioni meccanicheMedia
k = 5 kN/mζ = 0,7m = 12 kg

Una massa di 12 kg su una molla con rigidezza di 5 kN/m ha uno smorzatore viscoso che dà un fattore di smorzamento di 0,7. Trova la frequenza naturale smorzata fd delle sue vibrazioni libere in Hz.

m = 12 kgk = 5 kN/mζ = 0,7
fd = Hz
12.Vibrazioni meccanicheDifficile
k1​ = 60k2​ = 10m = 40 kg

Una massa di 40 kg è appesa a due molle affiancate (in parallelo), con rigidezze k₁ = 60 kN/m e k₂ = 10 kN/m. La massa resta orizzontale. Trova la rigidezza equivalente keq del sistema di molle in kN/m.

m = 40 kgk1 = 60 kN/mk2 = 10 kN/m
keq = kN/m

3Soluzioni

1.Ingranaggi e rotismi

Risposta: T1 = 9,879 N·m

Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.

Momento torcente del motore

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/151,8 = 9,879 N·m

Risposta

T1 = 9,879 N·m
2.Ingranaggi e rotismi

Risposta: nout = 112,5 rpm

Rotismi: le ruote dentate in presa hanno la stessa velocità sui denti, quindi n₁·N₁ = n₂·N₂: la ruota con meno denti gira più veloce. Le ruote calettate sullo stesso albero girano alla stessa velocità. La potenza si trasmette (a meno delle perdite), quindi il momento torcente aumenta quando la velocità diminuisce: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, e P = T·ω con ω = 2π·n/60.

Primo stadio

nB = 1500·16/80 = 300 rpm = nC

Secondo stadio

nout = 300·15/40 = 112,5 rpm

Risposta

nout = 112,5 rpm

rapporto totale = 13,33 : 1

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 22,99 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τmax = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(do⁴ − di⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(39000·38350) = 0,4012 rad
φ = 0,4012·180/π = 22,99°

Risposta

φ = 22,99°
4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 20,09 mm

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τmax = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(do⁴ − di⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

Diametro dalla tensione ammissibile

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·95493/(π·60)) = 20,09 mm

Risposta

d = 20,09 mm

In pratica arrotonderesti alla misura standard successiva.

5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: θs = −76,72 °

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

στxyCτmax​

Angolo sul cerchio

Sul cerchio di Mohr il punto più alto (+R) è a 90° dal punto principale σ₁; sull’elemento questo corrisponde a 45°.

cos 2θs = −40/44,72 = −0,8944, sin 2θs = −20/44,72 = −0,4472
2θs = atan2(−20, −40) = −153,4°

Angolo sull’elemento

θs = −76,72°
verifica: θs − θp = −76,72 − (−31,72) = −45°

Risposta

θs = −76,72°

Gli angoli positivi sono in senso antiorario.

6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τθ = −45,71 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Equazione di trasformazione

τθ = −45·0,9397 + −10·0,342 = −45,71 MPa

Risposta

τθ = −45,71 MPa
7.Tensione e deformazione assiale

Risposta: ε = 5084 µε

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 115·1000/113,1 = 1017 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for acciaio = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1017/200000 = 0,005084 = 5084 µε

Risposta

ε = 5084 µε
8.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 1,099 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 28,29 MPa
σ2 = 63,66 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ1 = σ1L1/E1 = 28,29·2000/200000 = 0,2829 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 63,66·1500/117000 = 0,8162 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,099 mm

Risposta

δ = 1,099 mm
9.Instabilità delle colonne

Risposta: Pcr = 35,88 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carico critico

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/3500² = 35879 N = 35,88 kN

Risposta

Pcr = 35,88 kN
10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 78,07 mm

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a Pcr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Carico critico richiesto

Pcr = n·P = 3·105000 = 315000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 78,07 mm

Risposta

d = 78,07 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 102,5, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

11.Vibrazioni meccaniche

Risposta: fd = 2,32 Hz

Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Frequenza naturale non smorzata

ωn = √(5000/12) = 20,41 rad/s
fn = 20,41/(2π) = 3,249 Hz

Frequenza naturale smorzata

fd = fn·√(1 − ζ²) = 3,249·√(1 − 0,7²) = 2,32 Hz

Risposta

fd = 2,32 Hz
12.Vibrazioni meccaniche

Risposta: keq = 70 kN/m

Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ωn = √(k/m) in rad/s, e fn = ωn/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/cc, con smorzamento critico cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ωd = ωn·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Rigidezza equivalente

Le molle affiancate hanno la stessa deformazione e sommano le loro forze, quindi le rigidezze si sommano semplicemente: k = k1 + k2.

keq = 60 + 10 = 70 kN/m

Risposta

keq = 70 kN/m

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