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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Ingranaggi e rotismi

Ruote dentate in presa: n₁·N₁ = n₂·N₂
Momento torcente: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Potenza: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rotismo composto: rapporto totale = prodotto dei rapporti dei singoli stadi

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrazioni meccaniche

Frequenza naturale: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dalla freccia statica: ω_n = √(g/δ_st)
Smorzamento critico: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Fattore di smorzamento: ζ = c/c_c
Frequenza smorzata: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Decremento logaritmico: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Molle in parallelo: k = k₁ + k₂
Molle in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Esercizi

1.Ingranaggi e rotismiMedia

Un motore da 11 kW che gira a 1440 rpm aziona un pignone con 16 denti e modulo di 4 mm. Trova la forza tangenziale F_t sui denti del pignone.

P = 11 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 4 mm

F_t = N

2.Ingranaggi e rotismiDifficile

In un rotismo composto, la ruota A (24 denti) sull’albero di ingresso gira a 960 rpm e aziona la ruota B (36 denti). La ruota C (18 denti) è calettata sullo stesso albero di B e aziona la ruota D sull’albero di uscita. L’uscita deve girare a 256 rpm. Quanti denti N_D deve avere la ruota D?

n_in = 960 rpmA = 24B = 36C = 18n_out = 256 rpm

N_D =

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di acciaio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 100 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero pieno in acciaio trasmette 5 kW a 500 rpm. La tensione tangenziale non deve superare 75 MPa e la torsione non deve superare 0,75° per m di lunghezza. Trova il diametro minimo d che soddisfa entrambi i limiti.

P = 5 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

Un punto ha σₓ = 80 MPa, σᵧ = 10 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). L’elemento è ruotato di 45° in senso orario. Trova la tensione normale σ_y′ sulle facce dell’elemento ruotato perpendicolari all’asse ruotato y′.

σ_x = 80 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

σ_y′ = MPa

6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 150 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 35° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = 150 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

7.Tensione e deformazione assialeMedia

Una barra è fatta di un tratto di acciaio (diametro 40 mm, lunghezza 400 mm, E = 200 GPa) unito testa a testa a un tratto di rame (diametro 40 mm, lunghezza 500 mm, E = 120 GPa). È fissata a un’estremità e tirata all’altra. Trova il carico assiale P che la allunga di 0,5 mm in totale.

tratto 1: acciaio, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPatratto 2: rame, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.Tensione e deformazione assialeDifficile

Un’asta di acciaio (diametro 25 mm, E = 200 GPa, tensione ammissibile 250 MPa) sta dentro un tubo di ottone (diametro esterno 80 mm, diametro interno 60 mm, E = 100 GPa, tensione ammissibile 50 MPa). Sono compressi insieme tra piastre rigide. Trova il massimo carico P_max.

asta: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna di lunghezza L in alluminio è incastrata alla base e libera in cima. Trova la sua snellezza e la tensione critica σ_cr dalla formula di Eulero.

L = 6 mE = 70 GPa (alluminio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.Vibrazioni meccanicheMedia

In una prova di vibrazioni libere su un sistema massa–molla smorzato, a un picco di spostamento di 50 mm segue, 3 cicli dopo, un picco di 2,9 mm. Trova il fattore di smorzamento ζ.

x₀ = 50 mmx₃ = 2,9 mmn = 3

ζ =

12.Vibrazioni meccanicheDifficile

Una massa di 10 kg è appesa a due molle collegate una dopo l’altra (in serie): la molla superiore ha k₁ = 80 kN/m e quella inferiore k₂ = 15 kN/m. Trova la rigidezza equivalente k_eq del sistema di molle in kN/m.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Soluzioni

1.Ingranaggi e rotismi

Risposta: F_t = 2280 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Coppia sul pignone

ω = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T = P/ω = 11000/150,8 = 72,95 N·m

Diametro primitivo

d = m·N = 4·16 = 64 mm

Forza tangenziale

F_t = 2T/d = 2·72,95/0,064 = 2280 N

Risposta

F_t = 2280 N

2.Ingranaggi e rotismi

Risposta: N_D = 45

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Velocità dell’albero intermedio

n_B = n_C = 960·24/36 = 640 rpm

Denti della ruota D

N_D = C·n_C/n_out = 18·640/256 = 45

Risposta

N_D = 45

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 0,9338 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 100·1000·500/(80000·38350) = 0,0163 rad

φ = 0,0163·180/π = 0,9338°

Risposta

φ = 0,9338°

4.Torsione degli alberi

Risposta: d = 31,04 mm

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Diametro per la resistenza

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

d_τ = ∛(16·95493/(π·75)) = 18,65 mm

Diametro per la rigidezza

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·95493/(π·80000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 31,04 mm

Diametro determinante

Entrambi i limiti devono essere rispettati, quindi governa il diametro maggiore.

d = max(18,65, 31,04) = 31,04 mm

Risposta

d = 31,04 mm

Qui governa la rigidezza.

5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_y′ = 75 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Equazione di trasformazione per la faccia y′

σ_y′ = 45 − 35·0 − 30·(−1) = 75 MPa

Verifica

La somma delle tensioni normali non cambia con la rotazione.

σ_x′ = 15 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 90 = σ_x + σ_y

Risposta

σ_y′ = 75 MPa

6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = 161,7 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 125 + 25·0,342 + 30·0,9397 = 161,7 MPa

Risposta

σ_θ = 161,7 MPa

7.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P = 101,9 kN

Due materiali: in serie (uno dopo l’altro) ogni tratto porta la stessa forza e gli allungamenti si sommano: δ = P·Σ L/(E·A). In parallelo (affiancati tra piastre rigide) entrambe le parti si accorciano della stessa quantità, quindi le deformazioni sono uguali: la parte più rigida prende la quota maggiore, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Una barra tenuta tra due pareti rigide con un carico nella giunzione è staticamente indeterminata: i due tratti si dividono il carico in proporzione alla loro rigidezza k = EA/L.

Aree

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Cedevolezze

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3,316 × 10⁻⁶ mm/N

Carico

P = 0,5/4,907 × 10⁻⁶ = 101889 N = 101,9 kN

Risposta

P = 101,9 kN

8.Tensione e deformazione assiale

Risposta: P_max = 159 kN

Aree

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidezza assiale combinata

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·2199 = 3,181 × 10⁸ N

Deformazione governante

ε = min(0,00125, 0,0005) = 0,0005 (ottone)

Carico massimo

P_max = 0,0005·3,181 × 10⁸ = 159043 N = 159 kN

Risposta

P_max = 159 kN

9.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 3,139 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·5000 = 5000 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/5000² = 3139 N = 3,139 kN

Risposta

P_cr = 3,139 kN

10.Instabilità delle colonne

Risposta: σ_cr = 1,079 MPa

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Raggio d’inerzia e snellezza

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·6000 = 12000 mm

KL/r = 12000/15 = 800

Tensione critica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1,079 MPa

Risposta

σ_cr = 1,079 MPa

11.Vibrazioni meccaniche

Risposta: ζ = 0,1494

Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ω_n = √(k/m) in rad/s, e f_n = ω_n/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/c_c, con smorzamento critico c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Decremento logaritmico

δ = (1/3)·ln(50/2,9) = 0,9491

Fattore di smorzamento

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9491/√(39,48 + 0,9008) = 0,1494

Risposta

ζ = 0,1494

12.Vibrazioni meccaniche

Risposta: k_eq = 12,63 kN/m

Rigidezza equivalente

Le molle in serie hanno la stessa forza e sommano le loro deformazioni, quindi si combinano come reciproci: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/15 → k_eq = 80·15/(80 + 15) = 12,63 kN/m

Risposta

k_eq = 12,63 kN/m

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