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Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Ingranaggi e rotismi

Ruote dentate in presa: n₁·N₁ = n₂·N₂
Momento torcente: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Potenza: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Rotismo composto: rapporto totale = prodotto dei rapporti dei singoli stadi

Torsione degli alberi

Tensione tangenziale: τ = T·r/J
Albero pieno: J = πd⁴/32
Albero cavo: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ)
Potenza: P = T·ω = 2πnT/60

Metodo

Trova il momento d’inerzia polare: J = πd⁴/32 per un albero pieno.
Tensione tangenziale in superficie: τ = T·r/J, con r il raggio esterno.
Angolo di torsione: φ = TL/(GJ) in radianti.
Se è data la potenza, trova prima il momento torcente con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raggio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensioni principali: σ_1,2 = C ± R
Direzione principale: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Piano inclinato: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Metodo

Calcola il centro del cerchio di Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcola il raggio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Le tensioni principali sono C ± R e la massima tensione tangenziale nel piano è R.
Gli angoli sul cerchio sono il doppio degli angoli sull’elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Tensione e deformazione assiale

Tensione normale: σ = F/A
Deformazione: ε = ΔL/L
Legge di Hooke: σ = E·ε
Allungamento: ΔL = FL/(EA)
Deformazione termica: ε_T = α·ΔT

Instabilità delle colonne

Carico critico di Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Coefficiente di lunghezza libera: K = 1 cerniera–cerniera, 0,5 incastro–incastro, 0,7 incastro–cerniera, 2 incastro–libero
Tensione critica: σ_cr = P_cr/A
Snellezza: λ = KL/r, r = √(I/A)

Vibrazioni meccaniche

Frequenza naturale: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Dalla freccia statica: ω_n = √(g/δ_st)
Smorzamento critico: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Fattore di smorzamento: ζ = c/c_c
Frequenza smorzata: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Decremento logaritmico: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Molle in parallelo: k = k₁ + k₂
Molle in serie: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Esercizi

1.Ingranaggi e rotismiMedia

Un motore da 0,37 kW a 960 rpm aziona una vite senza fine a 2 principi. La ruota elicoidale ha 30 denti e la trasmissione ha un rendimento del 50%. Trova la coppia in uscita T_w sull’albero della ruota.

z = 2N_w = 30n = 960 rpmP = 0,37 kWη = 50%

T_w = N·m

2.Ingranaggi e rotismiDifficile

In un rotismo composto, la ruota A (12 denti) sull’albero di ingresso gira a 2880 rpm e aziona la ruota B (40 denti). La ruota C (15 denti) è calettata sullo stesso albero di B e aziona la ruota D sull’albero di uscita. L’uscita deve girare a 648 rpm. Quanti denti N_D deve avere la ruota D?

n_in = 2880 rpmA = 12B = 40C = 15n_out = 648 rpm

N_D =

3.Torsione degli alberiMedia

Un albero pieno di alluminio è incastrato alla parete e torto da un momento T all’estremo libero. Trova l’angolo di torsione φ dell’estremo libero, in gradi.

T = 400 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsione degli alberiDifficile

Un albero cavo trasmette 75 kW a 1500 giri/min. Trova la tensione tangenziale massima τ_max nell’albero.

P = 75 kWN = 1500 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniMedia

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = 30 MPa, σᵧ = 110 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (trazione positiva). Trova la massima tensione tangenziale nel piano τ_max.

σ_x = 30 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioniDifficile

In un punto di un pezzo caricato si ha σₓ = −70 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (trazione positiva). Trova la tensione normale σ_θ su un piano la cui normale è ruotata di 15° in senso antiorario rispetto all’asse x.

σ_x = −70 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.Tensione e deformazione assialeMedia

Trova l’allungamento δ della barra di ottone sotto il carico assiale.

P = 100 kNd = 10 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

8.Tensione e deformazione assialeDifficile

La barra a gradini è incastrata alla parete e caricata all’estremo libero. Trova l’allungamento totale δ.

P = 45 kNtratto 1: Ø25 mm, 2 m, rame (E = 117 GPa)tratto 2: Ø20 mm, 0,5 m, rame (E = 117 GPa)

δ = mm

9.Instabilità delle colonneMedia

Una colonna di lunghezza L in acciaio è incernierata a entrambi gli estremi. Usando la formula di Eulero, trova il suo carico critico P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acciaio)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Instabilità delle colonneDifficile

Una colonna tonda piena di lunghezza L in acciaio è incastrata alla base e incernierata in cima. Deve portare 150 kN con un coefficiente di sicurezza di 2 contro l’instabilità. Trova il diametro minimo d.

P = 150 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (acciaio)

d = mm

11.Vibrazioni meccanicheMedia

In una prova di vibrazioni libere su un sistema massa–molla smorzato, a un picco di spostamento di 30 mm segue, 4 cicli dopo, un picco di 0,7 mm. Trova il fattore di smorzamento ζ.

x₀ = 30 mmx₄ = 0,7 mmn = 4

ζ =

12.Vibrazioni meccanicheDifficile

Una massa di 5 kg è appesa alla molla k₃ = 25 kN/m. L’estremità superiore di k₃ è fissata a una barra rigida appesa a due molle affiancate, k₁ = 80 kN/m e k₂ = 100 kN/m; la barra resta orizzontale. Trascura lo smorzamento e le masse delle molle e della barra. Trova la frequenza naturale f_n delle vibrazioni verticali in Hz.

m = 5 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 25 kN/m

f_n = Hz

3Soluzioni

1.Ingranaggi e rotismi

Risposta: T_w = 27,6 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Velocità della ruota

n_w = n·z/N_w = 960·2/30 = 64 rpm

Momento torcente in uscita

ω_w = 2π·64/60 = 6,702 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,5·370/6,702 = 27,6 N·m

Risposta

T_w = 27,6 N·m

2.Ingranaggi e rotismi

Risposta: N_D = 20

Velocità dell’albero intermedio

n_B = n_C = 2880·12/40 = 864 rpm

Denti della ruota D

N_D = C·n_C/n_out = 15·864/648 = 20

Risposta

N_D = 20

3.Torsione degli alberi

Risposta: φ = 4,31 °

Torsione degli alberi circolari: la tensione tangenziale cresce linearmente da zero al centro fino a τ_max = T·r/J in superficie, con J = πd⁴/32 per un albero pieno e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 per uno cavo. L’angolo di torsione è φ = TL/(GJ) in radianti. Potenza e momento torcente sono legati da P = T·ω.

Momento d’inerzia polare

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Angolo di torsione

φ = TL/(GJ) = 400·1000·3000/(26000·613592) = 0,07522 rad

φ = 0,07522·180/π = 4,31°

Risposta

φ = 4,31°

4.Torsione degli alberi

Risposta: τ_max = 32,95 MPa

Momento torcente

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 75000/157,1 = 477,5 N·m

Momento d’inerzia polare

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

Tensione tangenziale massima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·25/362265 = 32,95 MPa

Risposta

τ_max = 32,95 MPa

5.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: τ_max = 64,03 MPa

Trasformazione della tensione piana: su un piano ruotato di θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Il cerchio di Mohr mostra tutti i piani contemporaneamente: il suo centro è in C = (σₓ + σᵧ)/2 e il raggio è R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Le tensioni principali sono C ± R, e la massima tensione tangenziale nel piano è R.

Raggio del cerchio di Mohr

τ_max = R = √(((30 − 110)/2)² + −50²) = 64,03 MPa

Risposta

τ_max = 64,03 MPa

6.Cerchio di Mohr e trasformazione delle tensioni

Risposta: σ_θ = −54,95 MPa

Equazione di trasformazione

σ_θ = 5 + −75·0,866 + 10·0,5 = −54,95 MPa

Risposta

σ_θ = −54,95 MPa

7.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 12,73 mm

Legge di Hooke: nel campo elastico σ = E·ε. Combinandola con σ = P/A e ε = δ/L si ottiene δ = PL/(AE).

Tensione

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 100·1000/78,54 = 1273 MPa

Deformazione (legge di Hooke)

E for ottone = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1273/100000 = 0,01273 = 12732 µε

Allungamento

δ = ε·L = 0,01273·1000 mm = 12,73 mm

Risposta

δ = 12,73 mm

8.Tensione e deformazione assiale

Risposta: δ = 2,179 mm

Elementi caricati assialmente: ogni tratto prismatico segue δ = PL/(AE). Per elementi in serie gli allungamenti si sommano.

Stessa forza in entrambi i tratti

L’estremo libero porta P, quindi ogni sezione della barra porta la stessa forza assiale P. Cambiano solo aree e materiali.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 91,67 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

Somma gli allungamenti dei tratti

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,67·2000/117000 = 1,567 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 143,2·500/117000 = 0,6121 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,179 mm

Risposta

δ = 2,179 mm

9.Instabilità delle colonne

Risposta: P_cr = 2,481 kN

Instabilità euleriana: una colonna snella diventa instabile a P_cr = π²EI/(KL)², dove KL è la lunghezza libera d’inflessione: K = 1 per cerniera–cerniera, 2 per incastro–libero, 0,7 per incastro–cerniera e 0,5 per incastro–incastro. Sbanda attorno all’asse con I minore. La formula vale per colonne snelle, la cui tensione critica resta sotto la tensione di snervamento.

Momento d’inerzia minimo

Una sezione circolare ha lo stesso I rispetto a ogni asse.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Lunghezza libera d’inflessione

KL = 1·2500 = 2500 mm

Carico critico

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/2500² = 2481 N = 2,481 kN

Risposta

P_cr = 2,481 kN

10.Instabilità delle colonne

Risposta: d = 60,79 mm

Carico critico richiesto

P_cr = n·P = 2·150000 = 300000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Risolvi per il diametro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 60,79 mm

Risposta

d = 60,79 mm

Verifica: la snellezza KL/r è 138,2, quindi la colonna è snella e vale Eulero.

11.Vibrazioni meccaniche

Risposta: ζ = 0,1479

Vibrazioni libere di un sistema massa–molla: la pulsazione naturale non smorzata è ω_n = √(k/m) in rad/s, e f_n = ω_n/(2π) in Hz. Uno smorzatore viscoso c dà il fattore di smorzamento ζ = c/c_c, con smorzamento critico c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Un sistema sottosmorzato (ζ < 1) oscilla a ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Le molle in parallelo si sommano, k = k₁ + k₂; le molle in serie si sommano come reciproci, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Decremento logaritmico

δ = (1/4)·ln(30/0,7) = 0,9395

Fattore di smorzamento

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9395/√(39,48 + 0,8826) = 0,1479

Risposta

ζ = 0,1479

12.Vibrazioni meccaniche

Risposta: f_n = 10,55 Hz

Rigidezza equivalente

Solo k₁ e k₂ sono in parallelo. Questa coppia è in serie con k₃, quindi combinale come reciproci.

k₁₂ = 80 + 100 = 180 kN/m

k_eq = 180·25/(180 + 25) = 21,95 kN/m

Frequenza naturale

ω_n = √(21951/5) = 66,26 rad/s

f_n = 66,26/(2π) = 10,55 Hz

Risposta

f_n = 10,55 Hz

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