Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a 60 km/h frena con una decelerazione costante di 4,5 m/s² fino a fermarsi. Quanto dura la frenata? Trova t.
La palla A viene lasciata cadere da ferma da un’altezza di 25 m. Nello stesso istante la palla B viene lanciata verticalmente verso l’alto dal suolo, esattamente sotto, a 29 m/s. Trascura la resistenza dell’aria e usa g = 9,81 m/s². A quale altezza y dal suolo si incontrano?
Un blocco di 9 kg scivola lungo un pendio inclinato di 30° sull’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,25. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del blocco lungo il pendio.
Un blocco di 2,5 kg su una rampa inclinata di 20° è collegato, tramite un filo leggero che passa su una carrucola priva di attrito in cima alla rampa, a una massa sospesa di 5,5 kg. La massa sospesa scende. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e rampa è 0,15. Usa g = 9,81 m/s². Trova la tensione T nel filo.
Una palla viene lanciata a 30° sopra l’orizzontale da terreno pianeggiante. Trascura la resistenza dell’aria. Trova la distanza orizzontale x percorsa prima che la palla tocchi terra.
Una palla viene lanciata a 35° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera alta 45 m. Trascura la resistenza dell’aria. Trova il tempo di volo t finché la palla tocca terra.
Un ingegnere stradale vuole che le auto percorrano una curva di raggio 190 m a 50 km/h senza fare affidamento sull’attrito. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’angolo di sopraelevazione θ.
Una curva di raggio 70 m è sopraelevata di 12°, e il coefficiente di attrito statico tra pneumatici e strada è 0,2. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità massima vmax alla quale un’auto può percorrere la curva senza scivolare verso l’alto e verso l’esterno.
Una pallina di 5 kg è appesa a un filo leggero di lunghezza 1,5 m. Viene spostata lateralmente finché il filo forma 40° con la verticale e lasciata da ferma. Trova la tensione T nel filo quando la pallina passa per il punto più basso.
Un blocco di 5 kg viene lasciato da fermo all’altezza 3 m su una rampa liscia. In fondo attraversa una striscia orizzontale ruvida lunga 5 m (μ = 0,1) e poi arriva contro una molla (k = 2000 N/m) su una superficie liscia. Trova la velocità v del blocco quando raggiunge la molla.
Un proiettile di 5 g viene sparato orizzontalmente in un blocco di legno di 4 kg appeso a fili leggeri, e vi resta conficcato. Il blocco oscilla verso l’alto finché si trova 11 cm più in alto rispetto all’inizio. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v del proiettile prima dell’impatto.
Un’auto di 1400 kg urta un’auto parcheggiata di 900 kg. I rottami restano agganciati e slittano per 10 m prima di fermarsi. Il coefficiente di attrito dinamico tra pneumatici e strada è 0,75. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v1 della prima auto subito prima dell’urto.
Quanto deve essere lungo un pendolo semplice per avere un periodo di 1 s? Usa g = 9,81 m/s². Trova L.
Una massa attaccata a una molla con k = 20 N/m oscilla su una superficie priva di attrito con un’ampiezza di 7 cm. Trova l’energia U immagazzinata nella molla quando la massa si trova a 5 cm dall’equilibrio.
Un piccolo altoparlante irradia 0,1 W di potenza sonora in modo uguale in tutte le direzioni. Trova il livello di intensità sonora β a 3 m.
Una fibra ottica ha un nucleo con n₁ = 1,55 e un mantello con n₂ = 1,54. Trova il massimo angolo θa rispetto all’asse della fibra con cui la luce proveniente dall’aria può entrare nell’estremità della fibra ed essere ancora guidata dalla riflessione totale interna.
Risposta: t = 3,704 s
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: y = 21,35 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Il verso verso l’alto è positivo, il suolo è y = 0.
Risposta: a = 2,781 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Verso il basso lungo il pendio è positivo.
Risposta: T = 25 N
Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.
Risposta: x = 59,68 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Partenza e arrivo alla stessa quota: t = 2vy/g.
Risposta: t = 3,811 s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Risolvi y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 per la radice positiva.
Risposta: θ = 5,909 °
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Risposta: vmax = 17,2 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
L’attrito è diretto verso il basso lungo il pendio.
Risposta: T = 72 N
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d). Su una traiettoria circolare la forza risultante verso il centro deve essere uguale a mv²/r.
Verifica: T = mg(3 − 2cos θ) = 72 N.
Risposta: v = 7,004 m/s
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
La rampa è liscia, quindi solo la striscia toglie energia.
Risposta: v = 1177 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Risposta: v1 = 19,93 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Risposta: L = 0,2485 m
Moto armonico semplice: una massa m su una molla di costante elastica k oscilla con pulsazione ω = √(k/m) e periodo T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Un pendolo semplice di lunghezza L ha T = 2π·√(L/g). Con ampiezza A, la velocità massima è A·ω, l’accelerazione massima A·ω² e l’energia ½·k·A².
Risposta: U = 0,025 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Risposta: β = 89,47 dB
Onde: un’onda periodica avanza di una lunghezza d’onda in un periodo, quindi v = fλ con T = 1/f. Su una corda tesa v = √(T/μ), con T la tensione e μ = m/L la massa per metro. Il suono nell’aria viaggia a circa 343 m/s a 20 °C, la luce nel vuoto a c = 3,00 × 10⁸ m/s. La sonorità si misura su una scala logaritmica: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB con I₀ = 10⁻¹² W/m², quindi un’intensità 10 volte maggiore aggiunge 10 dB. Una sorgente puntiforme distribuisce la sua potenza P su una sfera: I = P/(4πr²).
Risposta: θa = 10,12 °
Ottica geometrica: su una superficie di separazione, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale e n = c/v. Passando in un mezzo più lento il raggio si avvicina alla normale. Da un mezzo più denso (n₁ > n₂) oltre l’angolo critico θc = arcsin(n₂/n₁) tutta la luce viene riflessa: riflessione totale interna. Le lenti sottili e gli specchi sferici obbediscono a 1/f = 1/do + 1/di con l’ingrandimento m = −di/do. Convenzione dei segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso; di > 0 per un’immagine reale, di < 0 per una virtuale, e m < 0 per un’immagine capovolta.
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