Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 20 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
Un’auto che viaggia a 50 km/h frena con una decelerazione costante di 4,5 m/s² fino a fermarsi. Quanto dura la frenata? Trova t.
Un tram parte da fermo e accelera a 3 m/s² per 7 s, poi viaggia a velocità costante per 16 s, e infine frena a 5 m/s² fino a fermarsi. Trova la distanza totale s tra le due fermate.
Un blocco di 17 kg scivola lungo un pendio inclinato di 45° sull’orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0,15. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del blocco lungo il pendio.
Un blocco di 10 kg su un tavolo orizzontale è collegato, tramite un filo leggero che passa su una carrucola senza attrito, a una massa appesa di 3,5 kg. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e tavolo è 0,25. Usa g = 9,81 m/s². Trova l’accelerazione a del sistema.
Una palla viene lanciata a 25° sopra l’orizzontale da terreno pianeggiante. Trascura la resistenza dell’aria. Trova l’altezza massima H raggiunta dalla palla.
Una palla viene lanciata a 25° sopra l’orizzontale dalla cima di una scogliera alta 60 m. Trascura la resistenza dell’aria. Trova il tempo di volo t finché la palla tocca terra.
Una pallina di 5 kg è appesa a un filo leggero di lunghezza 1,5 m. Viene spostata lateralmente finché il filo forma 30° con la verticale e lasciata da ferma. Trova la tensione T nel filo quando la pallina passa per il punto più basso.
Un blocco di 10 kg viene lasciato da fermo all’altezza 2,5 m su una rampa liscia. In fondo attraversa una striscia orizzontale ruvida lunga 2,5 m (μ = 0,1) e poi arriva contro una molla (k = 1000 N/m) su una superficie liscia. Trova la compressione massima x della molla.
Un carrello di 1,5 kg che si muove a 7 m/s urta frontalmente, in modo perfettamente elastico, un carrello di 4,5 kg fermo su una rotaia senza attrito. Trova la velocità v′1 del primo carrello dopo l’urto (positiva nel suo verso iniziale).
Un proiettile di 8 g viene sparato orizzontalmente in un blocco di 2,5 kg appeso a fili leggeri lunghi 1,1 m, e vi resta conficcato. I fili oscillano fino a un angolo massimo di 20° dalla verticale. Usa g = 9,81 m/s². Trova la velocità v del proiettile prima dell’impatto.
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 0,5 m sotto la superficie. Trova la forza idrostatica risultante F sulla paratoia.
Una paratoia rettangolare verticale larga 3 m si trova nella parete di un serbatoio di acqua, con il bordo superiore 1,5 m sotto la superficie. Trova la profondità ycp del centro di spinta sotto la superficie.
Acqua scorre a 15 L/s in un tubo orizzontale che si restringe da 80 mm a 40 mm. La pressione nella sezione stretta è 280 kPa. Trascurando le perdite, trova la pressione p1 nella sezione larga.
Un tubo flessibile con diametro interno di 25 mm aspira acqua a sifone da un serbatoio aperto. Il punto più alto C del tubo è 3 m sopra il pelo libero, e l’uscita (aperta all’aria) è 1 m sotto il pelo libero. Trascura le perdite e assumi g = 9,81 m/s². Trova la portata Q.
Quale volume V occupano 140 g di CH₄ a 650 kPa e 40 °C? Trattalo come gas ideale.
Una quantità fissa di He passa da 200 kPa, 2 L, 25 °C a 700 kPa e 50 °C. Trova il nuovo volume V2.
Una macchina termica riceve calore da una sorgente a 400 °C e cede calore all’ambiente a 10 °C. Il suo rendimento termico effettivo è del 35%. Trova il suo rendimento di secondo principio ηII, il rapporto tra il rendimento effettivo e il rendimento di Carnot.
Una macchina termica assorbe 2100 kJ di calore da un serbatoio a 650 °C, produce 1155 kJ di lavoro e cede il resto a un serbatoio a 15 °C, per ciclo. Trova l’entropia totale generata Sgen per ciclo.
La luce all’interno di un blocco trasparente viene totalmente riflessa sulla superficie di separazione con aria (n = 1,00) per ogni angolo di incidenza superiore a 30°. Trova l’indice di rifrazione n1 del blocco.
Un sensore fermo invia ultrasuoni di 40 kHz verso un’auto che si allontana a 10 m/s e miscela l’eco con il segnale emesso. Trova la frequenza di battimento fb (velocità del suono 343 m/s).
Risposta: t = 3,086 s
Moto uniformemente accelerato: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² e v² = v₀² + 2·a·s. Scegli l’equazione che contiene le tre grandezze che conosci e quella che cerchi, e mantieni i segni coerenti con un unico verso positivo.
Risposta: s = 453,6 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Risposta: a = 5,896 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Verso il basso lungo il pendio è positivo.
Risposta: a = 0,7267 m/s²
Secondo principio della dinamica: la forza risultante su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione, ΣF = m·a. Disegna un diagramma di corpo libero, scegli un verso positivo lungo il moto e somma tutte le forze in quella direzione: forze applicate, attrito μ·N opposto al moto e componenti della forza peso.
Risposta: H = 2,949 m
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
In cima la velocità verticale è zero: vy² = 2gH.
Risposta: t = 4,849 s
Moto del proiettile: senza resistenza dell’aria, x = vxt e y = h + vyt − ½gt². Le due direzioni sono indipendenti, tranne che condividono lo stesso tempo.
La velocità orizzontale resta costante; il moto verticale ha un’accelerazione costante g = 9,81 m/s² verso il basso.
Risolvi y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 per la radice positiva.
Risposta: T = 62,19 N
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d). Su una traiettoria circolare la forza risultante verso il centro deve essere uguale a mv²/r.
Verifica: T = mg(3 − 2cos θ) = 62,19 N.
Risposta: x = 66,44 cm
Teorema dell’energia cinetica: la variazione di energia cinetica è uguale al lavoro di tutte le forze. Scrivendo gravità e molle come energia potenziale (mgh e ½kx²) si ottiene un bilancio: energia iniziale = energia finale + energia persa per attrito (μN·d).
La rampa è liscia, quindi solo la striscia toglie energia.
Risposta: v′1 = −3,5 m/s
Conservazione della quantità di moto: se durante un urto non agisce alcuna forza esterna, la quantità di moto totale Σm·v prima è uguale a quella dopo. Le velocità hanno un verso, quindi scegli un verso positivo e dai segno meno alle velocità nel verso opposto. In un urto elastico si conserva anche l’energia cinetica; in uno completamente anelastico i corpi restano uniti.
Risolvendo insieme la conservazione della quantità di moto e quella dell’energia si ottengono questi due risultati.
Il segno meno significa che il primo carrello rimbalza indietro.
Risposta: v = 357,7 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Risposta: F = 88,29 kN
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
Risposta: ycp = 3,25 m
Forza idrostatica su una superficie piana: F = ρ·g·yc·A. Agisce nel centro di spinta, ycp = yc + Ic/(ycA), che si trova sempre sotto il baricentro.
La pressione cresce con la profondità, quindi la risultante agisce sotto il baricentro.
Risposta: p1 = 346,8 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Risposta: Q = 2,174 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Pelo libero e uscita sono entrambi aperti all’aria, quindi i termini di pressione si elidono.
Risposta: V = 34,96 L
Legge dei gas ideali: PV = nRT, con n = m/M.
Risposta: V2 = 0,6193 L
Legge combinata dei gas: per una quantità fissa di gas ideale, P1V1/T1 = P2V2/T2.
Risposta: ηII = 60,41 %
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Risposta: Sgen = 1,005 kJ/K
Generazione di entropia: su un ciclo completo il fluido di lavoro non ha variazione netta di entropia. Il serbatoio caldo perde QH/TH e quello freddo guadagna QL/TL. La loro somma è l’entropia generata, che è nulla per un ciclo reversibile e positiva per ogni ciclo reale.
Sgen > 0, quindi la macchina è possibile ma irreversibile.
Risposta: n1 = 2
Ottica geometrica: su una superficie di separazione, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (legge di Snell), con gli angoli misurati dalla normale e n = c/v. Passando in un mezzo più lento il raggio si avvicina alla normale. Da un mezzo più denso (n₁ > n₂) oltre l’angolo critico θc = arcsin(n₂/n₁) tutta la luce viene riflessa: riflessione totale interna. Le lenti sottili e gli specchi sferici obbediscono a 1/f = 1/do + 1/di con l’ingrandimento m = −di/do. Convenzione dei segni: f > 0 per una lente convergente e uno specchio concavo (f = R/2), f < 0 per una lente divergente e uno specchio convesso; di > 0 per un’immagine reale, di < 0 per una virtuale, e m < 0 per un’immagine capovolta.
Risposta: fb = 2266 Hz
Onde stazionarie ed effetto Doppler: una corda fissata a entrambe le estremità, o un tubo aperto a entrambe le estremità, contiene un numero intero di semilunghezze d’onda: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Un tubo chiuso a un’estremità ha un nodo all’estremità chiusa e un ventre a quella aperta: L = nλ/4 con n solo dispari, fn = n·v/(4L). Quando sorgente o osservatore si muovono lungo la retta che li unisce, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): usa i segni superiori per il moto di avvicinamento. Due onde di frequenza quasi uguale producono battimenti alla frequenza |f₁ − f₂|.
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