Metodologia della ricerca e statistica per la psicologia: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Test chi quadrato

Statistica test: χ² = Σ(O − E)²/E
Bontà dell’adattamento: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indipendenza: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valori critici (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisione: rifiuta H₀ se χ² > χ²_crit

2Esercizi

1.Metodi di ricerca in psicologiaMedia

In un esperimento sul campo, il ricercatore:

AManipola la VI in un laboratorio
BManipola la VI in un contesto reale
CAnalizza dati raccolti da altri
DSi limita a osservare senza manipolare nulla

2.Metodi di ricerca in psicologiaDifficile

L'analisi fenomenologica interpretativa (IPA) mira principalmente a:

AEsplorare come gli individui danno senso alle proprie esperienze vissute
BVerificare ipotesi causali con campioni ampi
CMisurare con precisione i tempi di reazione
DContare la frequenza delle parole nei testi

3.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 30, 43, 51, 27, 38, 58, 24.

n = 7

s =

4.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 20. Trova il punteggio z z di un voto pari a 90.

μ = 100σ = 20x = 90

z =

5.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 2 persone da un gruppo di 15? L'ordine non conta.

n = 15k = 2

N =

6.ProbabilitàDifficile

Un test ha 9 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 4 risposte corrette?

n = 9p = 0,7k = 4

P =

7.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Quale frazione è compresa tra 242,25 e 259 g? Dai P come numero decimale.

μ = 250σ = 5x₁ = 242,25x₂ = 259

P =

8.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 99 % dei dati (il 99° percentile).

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

9.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 100 telefoni, media 83 h, deviazione standard nota 10 h. Modello 2: 40 telefoni, media 74 h, deviazione standard nota 15 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 83 hσ₁ = 10 hn₂ = 40x̄₂ = 74 hσ₂ = 15 h90%

limite superiore = h

10.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 9. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?

σ = 9E = 190%

n =

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 69,83 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 69,83s = 15n = 81

t =

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 1? La deviazione standard è 8. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 8E = 199%

n =

13.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

14.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 61?

n = 6ŷ = 61

x =

15.Test chi quadratoMedia

La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Calcola la statistica chi quadrato χ² per il test di indipendenza tra la variabile di riga e quella di colonna. Non usare la correzione di continuità.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Test chi quadratoDifficile

La tabella riporta le frequenze osservate. Verifica con α = 0,05 se le due variabili sono indipendenti (senza correzione di continuità). Calcola la statistica test χ², poi confrontala con il valore critico della tabella.

N = 2003 × 2α = 0,05

χ² =

3Soluzioni

1.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: B · Manipola la VI in un contesto reale

Perché è questa la risposta

Gli esperimenti sul campo, come le situazioni di richiesta d'aiuto inscenate per strada, aumentano la validità ecologica ma offrono meno controllo sulle variabili estranee e sollevano problemi di consenso.

Risposta

B · Manipola la VI in un contesto reale

2.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: A · Esplorare come gli individui danno senso alle proprie esperienze vissute

Perché è questa la risposta

L'IPA studia in profondità campioni piccoli e omogenei, esaminando come i partecipanti interpretano esperienze significative, mentre il ricercatore interpreta il loro modo di dare senso.

Risposta

A · Esplorare come gli individui danno senso alle proprie esperienze vissute

3.Statistica descrittiva

Risposta: s = 12,72

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 271/7 = 38,71

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−8,714)² + 4,286² + 12,29² + (−11,71)² + (−0,7143)² + 19,29² + (−14,71)² = 971,4

Deviazione standard

s = √(971,4/6) = 12,72

Risposta

s = 12,72

4.Statistica descrittiva

Risposta: z = −0,5

Standardizza

z = (90 − 100)/20 = −0,5

Risposta

z = −0,5

5.Probabilità

Risposta: N = 105

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105

Risposta

N = 105

6.Probabilità

Risposta: P = 0,07351

Formula binomiale

P(X = 4) = 126·0,7⁴·0,3⁵ = 126·0,2401·0,00243 = 0,07351

Risposta

P = 0,07351

7.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9035

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (242,25 − 250)/5 = −1,55

z₂ = (259 − 250)/5 = 1,8

Area compresa

P = Φ(1,8) − Φ(−1,55) = 0,9641 − 0,06057 = 0,9035

Risposta

P = 0,9035

8.Distribuzione normale

Risposta: x = 194,3 cm

z del percentile

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Ritorno a x

x = 178 + 2,326·7 = 194,28 cm

Risposta

x = 194,28 cm

9.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 13,23 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 83 − 74 = 9

Errore standard

SE = √(10²/100 + 15²/40) = 2,574

Margine di errore

E = 1,645·2,574 = 4,234

Intervallo

9 ± 4,234 → [4,766, 13,23]

Risposta

limite superiore = 13,23 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

10.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 220

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = (1,645·9/1)² = 219,2

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 220

Risposta

n = 220

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −3,102

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

Statistica test

t = (69,83 − 75)/1,667 = −3,102

Risposta

t = −3,102

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 425

Ricava n

n = (2,576·8/1)² = 424,7

Arrotonda per eccesso

n = 425

Risposta

n = 425

13.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9878

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 537/6 = 89,5

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 413

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2498

Coefficiente di correlazione

r = 413/√(70·2498) = 0,9878

Risposta

r = 0,9878

14.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 11,99

Medie

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 314/6 = 52,33

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Retta di regressione

b = 152/70 = 2,171

a = 52,33 − 2,171·8 = 34,96

ŷ = 34,96 + 2,171·x

Risolvi per x

x = (61 − 34,96)/2,171 = 11,99

Risposta

x = 11,99

15.Test chi quadrato

Risposta: χ² = 5,25

Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.

Frequenze attese

studenti: 120·40/200 = 24, 120·60/200 = 36, 120·100/200 = 60

personale: 80·40/200 = 16, 80·60/200 = 24, 80·100/200 = 40

Statistica chi quadrato

χ² = (18 − 24)²/24 + (36 − 36)²/36 + (66 − 60)²/60 + (22 − 16)²/16 + (24 − 24)²/24 + (34 − 40)²/40

χ² = 5,25

Risposta

χ² = 5,25

gl = 2. Con α = 0,05 il valore critico è 5,991, quindi H₀ (indipendenza) non viene rifiutata.

16.Test chi quadrato

Risposta: χ² = 48,51

Frequenze attese

stabilimento A: 28, 12

stabilimento B: 56, 24

stabilimento C: 56, 24

Statistica chi quadrato

χ² = (37 − 28)²/28 + (3 − 12)²/12 + (69 − 56)²/56 + (11 − 24)²/24 + (34 − 56)²/56 + (46 − 24)²/24

χ² = 48,51

Decisione

df = 2, χ²_crit = 5,991

48,51 > 5,991

Risposta

χ² = 48,51

χ² è sopra il valore critico, quindi H₀ viene rifiutata: le variabili sembrano associate.

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