Metodologia della ricerca e statistica per la psicologia: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Test chi quadrato

Statistica test: χ² = Σ(O − E)²/E
Bontà dell’adattamento: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indipendenza: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valori critici (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisione: rifiuta H₀ se χ² > χ²_crit

2Esercizi

1.Metodi di ricerca in psicologiaMedia

Gli stessi 25 partecipanti svolgono un test di memoria prima e dopo aver assunto caffeina. I punteggi sono a intervalli e approssimativamente normali. Quale test è appropriato?

ATest t per campioni appaiati (dipendenti)
BTest chi-quadrato
CTest U di Mann–Whitney
DTest t per campioni indipendenti

2.Metodi di ricerca in psicologiaDifficile

Un dipartimento di psicologia recluta partecipanti solo dai corsi introduttivi di psicologia. I critici dicono che i campioni sono «WEIRD». A che cosa si riferisce questo termine?

ACampioni occidentali, istruiti, industrializzati, ricchi e democratici, che possono non essere generalizzabili
BCampioni insolitamente strani nel loro comportamento
CCampioni che abbandonano presto gli studi
DCampioni reclutati con metodi casuali ponderati

3.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 55, 56, 44, 22, 31, 34, 14.

n = 7

s =

4.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 100 e deviazione standard 15. Trova il punteggio z z di un voto pari a 115.

μ = 100σ = 15x = 115

z =

5.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 3 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 3

P =

6.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 11 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 11p = 0,3

P =

7.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Quale frazione è compresa tra 167,15 e 183,95 cm? Dai P come numero decimale.

μ = 178σ = 7x₁ = 167,15x₂ = 183,95

P =

8.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 95 % dei dati (il 95° percentile).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

9.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 30 elementi ha media 30 e deviazione standard s = 12,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 30x̄ = 30s = 12,595%t(29) = 2,045

limite inferiore =

10.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 12. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?

σ = 12E = 390%

n =

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

7 dipendenti svolgono un test di dattilografia prima e dopo un corso di formazione. Per ogni persona si registra la differenza d = dopo − prima (parole al minuto). La differenza media è 5,26 e la deviazione standard delle differenze è 4,8. Trova la statistica test per dati appaiati t per H₀: μ_d = 0.

n = 7d̄ = 5,26s_d = 4,8

t =

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 0,5? La deviazione standard è 10. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 10E = 0,599%

n =

13.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 5

r =

14.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 4,5.

n = 6x = 4,5

ŷ =

15.Test chi quadratoMedia

La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Calcola la statistica chi quadrato χ² per il test di indipendenza tra la variabile di riga e quella di colonna. Non usare la correzione di continuità.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Test chi quadratoDifficile

Un test chi quadrato di bontà dell’adattamento confronta le frequenze osservate in 5 categorie con proporzioni attese completamente specificate (nessun parametro è stimato dai dati). Usando la tabella, trova il valore critico χ²_crit al livello di significatività α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Soluzioni

1.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: A · Test t per campioni appaiati (dipendenti)

Perché è questa la risposta

Un test t per campioni appaiati confronta le medie degli stessi partecipanti in due condizioni, usando le differenze all'interno di ogni persona.

Risposta

A · Test t per campioni appaiati (dipendenti)

2.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: A · Campioni occidentali, istruiti, industrializzati, ricchi e democratici, che possono non essere generalizzabili

Perché è questa la risposta

Henrich e colleghi osservarono che la maggior parte dei partecipanti agli studi di psicologia proviene da società WEIRD (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic), non rappresentative dell'umanità, il che minaccia la validità di popolazione.

Risposta

A · Campioni occidentali, istruiti, industrializzati, ricchi e democratici, che possono non essere generalizzabili

3.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,98

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 256/7 = 36,57

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 18,43² + 19,43² + 7,429² + (−14,57)² + (−5,571)² + (−2,571)² + (−22,57)² = 1532

Deviazione standard

s = √(1532/6) = 15,98

Risposta

s = 15,98

4.Statistica descrittiva

Risposta: z = 1

Standardizza

z = (115 − 100)/15 = 1

Risposta

z = 1

5.Probabilità

Risposta: P = 0,4213

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Risposta

P = 0,4213

6.Probabilità

Risposta: P = 0,113

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,7¹¹ = 0,01977

P(X = 1) = 11·0,3·0,7¹⁰ = 0,09322

Sommale

P = 0,01977 + 0,09322 = 0,113

Risposta

P = 0,113

7.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,7418

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (167,15 − 178)/7 = −1,55

z₂ = (183,95 − 178)/7 = 0,85

Area compresa

P = Φ(0,85) − Φ(−1,55) = 0,8023 − 0,06057 = 0,7418

Risposta

P = 0,7418

8.Distribuzione normale

Risposta: x = 189,5 cm

z del percentile

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Ritorno a x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Risposta

x = 189,51 cm

9.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 25,33

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Margine di errore

E = 2,045·12,5/√30 = 4,667

Intervallo

30 ± 4,667 → [25,33, 34,67]

Risposta

limite inferiore = 25,33

10.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 44

Ricava n

n = (1,645·12/3)² = 43,3

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 44

Risposta

n = 44

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,899

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Errore standard della differenza media

SE = 4,8/√7 = 1,814

Statistica test

t = 5,26/1,814 = 2,899

Risposta

t = 2,899

Con df = 6, il valore critico bilaterale al 5% è 2,447; |t| è maggiore, quindi H₀ viene rifiutata.

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 2655

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Ricava n

n = (2,576·10/0,5)² = 2654

Arrotonda per eccesso

n = 2655

Risposta

n = 2655

13.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9054

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 48,8

Coefficiente di correlazione

r = −20/√(10·48,8) = −0,9054

Risposta

r = −0,9054

14.Regressione lineare e correlazione

Risposta: ŷ = 62,17

Medie

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 373/6 = 62,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 107,5

Retta di regressione

b = 107,5/17,5 = 6,143

a = 62,17 − 6,143·4,5 = 34,52

ŷ = 34,52 + 6,143·x

Previsione

ŷ = 34,52 + 6,143·4,5 = 62,17

Risposta

ŷ = 62,17

15.Test chi quadrato

Risposta: χ² = 0,81

Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.

Frequenze attese

nuovo farmaco: 80·90/180 = 40, 80·90/180 = 40

placebo: 100·90/180 = 50, 100·90/180 = 50

Statistica chi quadrato

χ² = (37 − 40)²/40 + (43 − 40)²/40 + (53 − 50)²/50 + (47 − 50)²/50

χ² = 0,81

Risposta

χ² = 0,81

gl = 1. Con α = 0,05 il valore critico è 3,841, quindi H₀ (indipendenza) non viene rifiutata.

16.Test chi quadrato

Risposta: χ²_crit = 13,28

Gradi di libertà

df = 5 − 1 = 4

Tabella

χ²_crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277

Risposta

χ²_crit = 13,277

Rifiuta H₀ se il χ² calcolato è maggiore di questo valore.

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