Metodologia della ricerca e statistica per la psicologia: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Test chi quadrato

Statistica test: χ² = Σ(O − E)²/E
Bontà dell’adattamento: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indipendenza: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valori critici (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisione: rifiuta H₀ se χ² > χ²_crit

2Esercizi

1.Metodi di ricerca in psicologiaMedia

Un ricercatore confronta l'aggressività dei bambini prima e dopo l'arrivo della televisione in una cittadina isolata. Il ricercatore non ha controllato l'arrivo della televisione. Si tratta di:

AUn esperimento naturale
BUn esperimento sul campo
CUn'indagine correlazionale sulla visione della televisione
DUn esperimento di laboratorio

2.Metodi di ricerca in psicologiaDifficile

Uno studio trova una correlazione di r = 0,05 tra statura e QI considerando solo giocatori di pallacanestro professionisti, sebbene nella popolazione generale sia più alta. Che cosa spiega meglio la debolezza della correlazione?

ALa restrizione del campo di variazione
BLe caratteristiche della richiesta
CLa regressione verso la media
DUn effetto soffitto nei test di QI

3.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 54, 49, 51, 13, 13, 16.

n = 6

s =

4.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 25. Trova il punteggio z z di un voto pari a 487,5.

μ = 500σ = 25x = 487,5

z =

5.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 8 palline rosse e 7 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

8 / 7

P =

6.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 5 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 5p = 0,5

P =

7.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Quale frazione è compresa tra 178 e 190,6 cm? Dai P come numero decimale.

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 190,6

P =

8.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 25 % dei dati (il 25° percentile).

μ = 32σ = 6P = 25%

x = min

9.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 8 elementi ha media 88,5 e deviazione standard s = 16,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 8x̄ = 88,5s = 16,590%t(7) = 1,895

limite inferiore =

10.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 24. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2,5?

σ = 24E = 2,590%

n =

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si afferma che la media di una popolazione sia 250; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 12. Un campione casuale di 144 osservazioni ha media 252,36. Verifica H₀: μ = 250 contro H₁: μ > 250. Trova il p-value p.

μ₀ = 250σ = 12n = 144x̄ = 252,36H₁: μ > μ₀

p =

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 100 misure ha media 74,6. La deviazione standard della popolazione è 8. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.

x̄ = 74,6σ = 8n = 10090%

L =

13.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

14.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (1,5, 23). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 23)

e =

15.Test chi quadratoMedia

La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Per un test chi quadrato di indipendenza, trova la frequenza attesa E per la cella “rurale, medio”.

totale di riga = 56totale di colonna = 53N = 128

E =

16.Test chi quadratoDifficile

La tabella riporta le frequenze osservate. Verifica con α = 0,01 se le due variabili sono indipendenti (senza correzione di continuità). Calcola la statistica test χ², poi confrontala con il valore critico della tabella.

N = 1603 × 2α = 0,01

χ² =

3Soluzioni

1.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: A · Un esperimento naturale

Perché è questa la risposta

In un esperimento naturale la VI varia per eventi al di fuori del controllo del ricercatore. La validità ecologica è alta, ma l'assegnazione casuale non è possibile.

Risposta

A · Un esperimento naturale

2.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: A · La restrizione del campo di variazione

Perché è questa la risposta

Quando un campione copre solo un intervallo ristretto di una variabile, le correlazioni che la coinvolgono si riducono. I giocatori di pallacanestro sono tutti alti, quindi la statura varia poco.

Risposta

A · La restrizione del campo di variazione

3.Statistica descrittiva

Risposta: s = 20,54

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 196/6 = 32,67

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 21,33² + 16,33² + 18,33² + (−19,67)² + (−19,67)² + (−16,67)² = 2109

Deviazione standard

s = √(2109/5) = 20,54

Risposta

s = 20,54

4.Statistica descrittiva

Risposta: z = −0,5

Standardizza

z = (487,5 − 500)/25 = −0,5

Risposta

z = −0,5

5.Probabilità

Risposta: P = 0,2667

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0,2667

Risposta

P = 0,2667

6.Probabilità

Risposta: P = 0,1875

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,5⁵ = 0,03125

P(X = 1) = 5·0,5·0,5⁴ = 0,1563

Sommale

P = 0,03125 + 0,1563 = 0,1875

Risposta

P = 0,1875

7.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,4641

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8

Area compresa

P = Φ(1,8) − Φ(0) = 0,9641 − 0,5 = 0,4641

Risposta

P = 0,4641

8.Distribuzione normale

Risposta: x = 27,95 min

z del percentile

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Ritorno a x

x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min

Risposta

x = 27,95 min

9.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 77,45

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 7, t = 1,895

Margine di errore

E = 1,895·16,5/√8 = 11,05

Intervallo

88,5 ± 11,05 → [77,45, 99,55]

Risposta

limite inferiore = 77,45

10.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 250

Ricava n

n = (1,645·24/2,5)² = 249,4

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 250

Risposta

n = 250

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: p = 0,009137

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistica test

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (252,36 − 250)/1 = 2,36

Area della coda

Φ(2,36) = 0,9909

1 − Φ(2,36) = 0,0091

p-value

p = 0,009137

Risposta

p = 0,009137

p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 73,28

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Margine di errore

E = 1,645·8/√100 = 1,316

Limite dell'intervallo

L = 74,6 − 1,316 = 73,28

Risposta

L = 73,28

13.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,8695

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 346/6 = 57,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 133,3

Coefficiente di correlazione

r = 42/√(17,5·133,3) = 0,8695

Risposta

r = 0,8695

14.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −4,65

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 124/5 = 24,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

Retta di regressione

b = −19/10 = −1,9

a = 24,8 − (−1,9)·3 = 30,5

ŷ = 30,5 − 1,9·x

Valore previsto

ŷ = 30,5 + (−1,9)·1,5 = 27,65

Residuo

e = 23 − 27,65 = −4,65

Risposta

e = −4,65

Il punto si trova sotto la retta.

15.Test chi quadrato

Risposta: E = 23,19

Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.

Frequenza attesa

E = 56·53/128 = 23,19

Risposta

E = 23,19

16.Test chi quadrato

Risposta: χ² = 7,183

Frequenze attese

stabilimento A: 42, 18

stabilimento B: 42, 18

stabilimento C: 28, 12

Statistica chi quadrato

χ² = (49 − 42)²/42 + (11 − 18)²/18 + (40 − 42)²/42 + (20 − 18)²/18 + (23 − 28)²/28 + (17 − 12)²/12

χ² = 7,183

Decisione

df = 2, χ²_crit = 9,210

7,183 < 9,210

Risposta

χ² = 7,183

χ² è sotto il valore critico, quindi H₀ non viene rifiutata: non c’è evidenza significativa di un’associazione.

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