Metodologia della ricerca e statistica per la psicologia: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Test chi quadrato

Statistica test: χ² = Σ(O − E)²/E
Bontà dell’adattamento: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indipendenza: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valori critici (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisione: rifiuta H₀ se χ² > χ²_crit

2Esercizi

1.Metodi di ricerca in psicologiaMedia

In una distribuzione normale, circa quale percentuale dei punteggi si trova entro una deviazione standard dalla media?

A99,7%
B68%
C95%
D50%

2.Metodi di ricerca in psicologiaDifficile

Uno studio con 10 partecipanti trova un effetto grande ma non significativo. Qual è la conclusione più appropriata?

ALo studio dimostra che l'ipotesi nulla è vera, poiché l'effetto non era significativo
BL'effetto deve essere un errore di I tipo
CLo studio può aver avuto una potenza insufficiente, quindi il risultato è inconcludente
DLa dimensione dell'effetto deve essere stata calcolata male

3.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 26, 58, 58, 21, 31, 24, 35.

n = 7

s =

4.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 5. Trova il punteggio z z di un voto pari a 64.

μ = 70σ = 5x = 64

z =

5.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 3 persone da un gruppo di 9? L'ordine non conta.

n = 9k = 3

N =

6.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 9 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 9p = 0,3

P =

7.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Quale frazione è compresa tra 20,3 e 44,3 min? Dai P come numero decimale.

μ = 32σ = 6x₁ = 20,3x₂ = 44,3

P =

8.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 75 % dei dati (il 75° percentile).

μ = 100σ = 15P = 75%

x = punti

9.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 9 elementi ha media 75 e deviazione standard s = 6,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il margine di errore E di un intervallo di confidenza al 90 % per la media.

n = 9x̄ = 75s = 6,590%t(8) = 1,86

E =

10.Intervalli di confidenzaDifficile

Uno studio pilota indica che circa 0,8 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,02?

p ≈ 0,8E = 0,0295%

n =

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 16 studenti ha un punteggio medio di 103 e una deviazione standard campionaria di 5. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103s = 5n = 16

t =

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 100 misure ha media 99,3. La deviazione standard della popolazione è 12. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 99,3σ = 12n = 10099%

L =

13.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

14.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 10?

n = 5ŷ = 10

x =

15.Test chi quadratoMedia

La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Per un test chi quadrato di indipendenza, trova la frequenza attesa E per la cella “personale, autobus”.

totale di riga = 109totale di colonna = 58N = 196

E =

16.Test chi quadratoDifficile

Un test chi quadrato di bontà dell’adattamento confronta le frequenze osservate in 8 categorie con proporzioni attese completamente specificate (nessun parametro è stimato dai dati). Usando la tabella, trova il valore critico χ²_crit al livello di significatività α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Soluzioni

1.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: B · 68%

Perché è questa la risposta

Circa il 68% dei punteggi cade entro ±1 DS, circa il 95% entro ±2 DS e circa il 99,7% entro ±3 DS.

Risposta

B · 68%

2.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: C · Lo studio può aver avuto una potenza insufficiente, quindi il risultato è inconcludente

Perché è questa la risposta

Con campioni piccoli, anche effetti reali spesso non raggiungono la significatività (errore di II tipo). I ricercatori dovrebbero riportare la dimensione dell'effetto e l'intervallo di confidenza e replicare con un campione più grande.

Risposta

C · Lo studio può aver avuto una potenza insufficiente, quindi il risultato è inconcludente

3.Statistica descrittiva

Risposta: s = 15,61

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 253/7 = 36,14

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−10,14)² + 21,86² + 21,86² + (−15,14)² + (−5,143)² + (−12,14)² + (−1,143)² = 1463

Deviazione standard

s = √(1463/6) = 15,61

Risposta

s = 15,61

4.Statistica descrittiva

Risposta: z = −1,2

Standardizza

z = (64 − 70)/5 = −1,2

Risposta

z = −1,2

5.Probabilità

Risposta: N = 84

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84

Risposta

N = 84

6.Probabilità

Risposta: P = 0,196

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,7⁹ = 0,04035

P(X = 1) = 9·0,3·0,7⁸ = 0,1556

Sommale

P = 0,04035 + 0,1556 = 0,196

Risposta

P = 0,196

7.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,9542

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (20,3 − 32)/6 = −1,95

z₂ = (44,3 − 32)/6 = 2,05

Area compresa

P = Φ(2,05) − Φ(−1,95) = 0,9798 − 0,02559 = 0,9542

Risposta

P = 0,9542

8.Distribuzione normale

Risposta: x = 110,1 punti

z del percentile

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Ritorno a x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 punti

Risposta

x = 110,12 punti

9.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 4,03

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Margine di errore

E = 1,86·6,5/√9 = 4,03

Risposta

E = 4,03

10.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Ricava n

n = 1,96²·0,8·0,2/0,02² = 1537

Arrotonda per eccesso

n = 1537

Risposta

n = 1537

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,4

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Statistica test

t = (103 − 100)/1,25 = 2,4

Risposta

t = 2,4

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 96,21

Margine di errore

E = 2,576·12/√100 = 3,091

Limite dell'intervallo

L = 99,3 − 3,091 = 96,21

Risposta

L = 96,21

13.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9429

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 138/6 = 23

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 34

Coefficiente di correlazione

r = −23/√(17,5·34) = −0,9429

Risposta

r = −0,9429

14.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 4,576

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 76/5 = 15,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

Retta di regressione

b = −33/10 = −3,3

a = 15,2 − (−3,3)·3 = 25,1

ŷ = 25,1 − 3,3·x

Risolvi per x

x = (10 − 25,1)/(−3,3) = 4,576

Risposta

x = 4,576

15.Test chi quadrato

Risposta: E = 32,26

Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.

Frequenza attesa

E = 109·58/196 = 32,26

Risposta

E = 32,26

16.Test chi quadrato

Risposta: χ²_crit = 14,07

Gradi di libertà

df = 8 − 1 = 7

Tabella

χ²_crit(df = 7, α = 0,05) = 14,067

Risposta

χ²_crit = 14,067

Rifiuta H₀ se il χ² calcolato è maggiore di questo valore.

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