Metodologia della ricerca e statistica per la psicologia: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Test chi quadrato

Statistica test: χ² = Σ(O − E)²/E
Bontà dell’adattamento: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indipendenza: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valori critici (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisione: rifiuta H₀ se χ² > χ²_crit

2Esercizi

1.Metodi di ricerca in psicologiaMedia

Un intervallo di confidenza al 95% per una media di 50 va da 46 a 54. Qual è l'interpretazione più corretta?

AIl 95% dei singoli partecipanti del campione ha ottenuto un punteggio tra 46 e 54 nella misura
BLa procedura usata produce intervalli che contengono la vera media nel 95% dei casi
CIl risultato non è significativo
DC'è una probabilità del 95% che la media del campione sia 50

2.Metodi di ricerca in psicologiaDifficile

L'analisi fenomenologica interpretativa (IPA) mira principalmente a:

AMisurare con precisione i tempi di reazione
BEsplorare come gli individui danno senso alle proprie esperienze vissute
CContare la frequenza delle parole nei testi
DVerificare ipotesi causali con campioni ampi

3.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 16, 42, 45, 45, 33.

n = 5

s =

4.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 20. Trova il punteggio z z di un voto pari a 210.

μ = 170σ = 20x = 210

z =

5.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 6 palline rosse e 3 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

6 / 3

P =

6.ProbabilitàDifficile

Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?

n = 12p = 0,3k = 5

P =

7.Distribuzione normaleMedia

Le masse di passeggeri con bagaglio sono indipendenti e normali con media 85 kg e deviazione standard 12 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 10 di essi superi 906,9 kg. Arrotonda z a due decimali.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 10> 906,9 kg

P =

8.Distribuzione normaleDifficile

Il tempo sul giro X del corridore A e il tempo sul giro Y del corridore B sono indipendenti e normali: X ha media 52 s e deviazione standard 4 s, Y ha media 48 s e deviazione standard 3 s. Trova la probabilità P che X sia maggiore di Y. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.Intervalli di confidenzaMedia

La pressione arteriosa di 15 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 1,8 e deviazione standard 2,3. Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 99% per la differenza media.

n = 15d̄ = 1,8s_d = 2,399%t(14) = 2,977

E = mmHg

10.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 6 parcelle, resa media 75 kg, deviazione standard 9 kg. Gruppo di parcelle 2: 20 parcelle, media 83 kg, deviazione standard 10 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 75s₁ = 9n₂ = 20x̄₂ = 83s₂ = 1090%t(24) = 1,711

limite superiore = kg

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 100 studenti ha un punteggio medio di 103,6 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 103,6s = 15n = 100

t =

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale con α = 0,01 deve rilevare uno spostamento della media di 5 unità con una potenza del 90%. La deviazione standard è 20. Trova la dimensione minima del campione n.

α = 0,01potenza = 90%δ = 5σ = 20z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

13.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

14.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 45?

n = 6ŷ = 45

x =

15.Test chi quadratoMedia

La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Per un test chi quadrato di indipendenza, trova la frequenza attesa E per la cella “personale, auto”.

totale di riga = 81totale di colonna = 50N = 158

E =

16.Test chi quadratoDifficile

Si esegue un test chi quadrato di indipendenza su una tabella di contingenza con 3 righe e 6 colonne (totali esclusi). Usando la tabella, trova il valore critico χ²_crit al livello di significatività α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Soluzioni

1.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: B · La procedura usata produce intervalli che contengono la vera media nel 95% dei casi

Perché è questa la risposta

Un IC al 95% fornisce un intervallo di valori plausibili per il parametro della popolazione. Intervalli più stretti, ottenuti con campioni più grandi, indicano stime più precise.

Risposta

B · La procedura usata produce intervalli che contengono la vera media nel 95% dei casi

2.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: B · Esplorare come gli individui danno senso alle proprie esperienze vissute

Perché è questa la risposta

L'IPA studia in profondità campioni piccoli e omogenei, esaminando come i partecipanti interpretano esperienze significative, mentre il ricercatore interpreta il loro modo di dare senso.

Risposta

B · Esplorare come gli individui danno senso alle proprie esperienze vissute

3.Statistica descrittiva

Risposta: s = 12,32

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 181/5 = 36,2

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−20,2)² + 5,8² + 8,8² + 8,8² + (−3,2)² = 606,8

Deviazione standard

s = √(606,8/4) = 12,32

Risposta

s = 12,32

4.Statistica descrittiva

Risposta: z = 2

Standardizza

z = (210 − 170)/20 = 2

Risposta

z = 2

5.Probabilità

Risposta: P = 0,4167

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 6/9 · 5/8 = 30/72 = 0,4167

Risposta

P = 0,4167

6.Probabilità

Risposta: P = 0,1585

Formula binomiale

P(X = 5) = 792·0,3⁵·0,7⁷ = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

Risposta

P = 0,1585

7.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,06681

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione del totale

μ_T = 850 kg, σ_T = 12·√10 = 37,95 kg

Standardizza

z = (906,9 − 850)/37,95 = 1,5

Probabilità

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Risposta

P = 0,06681

8.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,7881

Distribuzione della differenza

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standardizza

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Probabilità

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Risposta

P = 0,7881

9.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 1,768 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valore critico

df = 14, t = 2,977

Margine di errore

E = 2,977·2,3/√15 = 1,768

Risposta

E = 1,768 mmHg

10.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = −0,1949 kg

Deviazione standard combinata

s_p² = (5·9² + 19·10²)/24 = 96,04

s_p = 9,8

Margine di errore

E = 1,711·9,8·√(1/6 + 1/20) = 7,805

Intervallo

−8 ± 7,805 → [−15,81, −0,1949]

Risposta

limite superiore = −0,1949 kg

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,4

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 15/√100 = 15/10 = 1,5

Statistica test

t = (103,6 − 100)/1,5 = 2,4

Risposta

t = 2,4

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 209

Dimensione del campione per un test: per rilevare uno spostamento reale δ con potenza 1 − β in un test z unilaterale al livello α, l’errore standard deve soddisfare δ = (z_α + z_β)·σ/√n, quindi n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = ((2,326 + 1,282)·20/5)² = 208,3

Arrotonda per eccesso

n = 209

Risposta

n = 209

13.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9542

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 508/5 = 101,6

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 456

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2421

Coefficiente di determinazione

r² = 456²/(90·2421) = 0,9542

Risposta

r² = 0,9542

Circa il 95,42% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

14.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 4,011

Medie

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 307/6 = 51,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 217

Retta di regressione

b = 217/70 = 3,1

a = 51,17 − 3,1·6 = 32,57

ŷ = 32,57 + 3,1·x

Risolvi per x

x = (45 − 32,57)/3,1 = 4,011

Risposta

x = 4,011

15.Test chi quadrato

Risposta: E = 25,63

Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.

Frequenza attesa

E = 81·50/158 = 25,63

Risposta

E = 25,63

16.Test chi quadrato

Risposta: χ²_crit = 23,21

Gradi di libertà

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

Tabella

χ²_crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209

Risposta

χ²_crit = 23,209

Rifiuta H₀ se il χ² calcolato è maggiore di questo valore.

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