Metodologia della ricerca e statistica per la psicologia: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Test chi quadrato

Statistica test: χ² = Σ(O − E)²/E
Bontà dell’adattamento: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indipendenza: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valori critici (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisione: rifiuta H₀ se χ² > χ²_crit

2Esercizi

1.Metodi di ricerca in psicologiaMedia

In una correlazione, r = 0,40. Quale proporzione della varianza di una variabile è condivisa con l'altra?

A60%
B40%
C16%
D4%

2.Metodi di ricerca in psicologiaDifficile

Un ricercatore manipola l'umore mostrando un film triste, poi chiede ai partecipanti di valutare quanto si sentono tristi prima del compito principale. Perché viene inclusa questa valutazione?

APer fare il debriefing ai partecipanti sugli scopi
BCome variabile dipendente principale dello studio
CPer bilanciare l'ordine delle condizioni
DCome controllo della manipolazione, per confermare che la VI abbia funzionato come previsto

3.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 19, 20, 19, 31, 46, 52, 38.

n = 7

s =

4.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 10. Trova il punteggio z z di un voto pari a 70.

μ = 50σ = 10x = 70

z =

5.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 3 palline rosse e 3 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

3 / 3

P =

6.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 10 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 10p = 0,4

P =

7.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Quale frazione è compresa tra 76 e 118,75 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 100σ = 15x₁ = 76x₂ = 118,75

P =

8.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 99 % dei dati (il 99° percentile).

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

9.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 7 elementi ha media 47,5 e deviazione standard s = 12,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 7x̄ = 47,5s = 12,599%t(6) = 3,707

limite superiore =

10.Intervalli di confidenzaDifficile

Non si sa nulla in anticipo sulla proporzione di prodotti difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 99% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,04?

p = 0,5E = 0,0499%

n =

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 49 studenti ha un punteggio medio di 116,5 e una deviazione standard campionaria di 8. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 116,5s = 8n = 49

t =

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 100 misure ha media 98,8. La deviazione standard della popolazione è 5. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 98,8σ = 5n = 10099%

U =

13.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 42Σy = 112Σx² = 364Σy² = 2544Σxy = 960

r =

14.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (5,5, 6). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 6)

e =

15.Test chi quadratoMedia

La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Per un test chi quadrato di indipendenza, trova la frequenza attesa E per la cella “turno di notte, lieve”.

totale di riga = 77totale di colonna = 60N = 162

E =

16.Test chi quadratoDifficile

Un test chi quadrato di bontà dell’adattamento confronta le frequenze osservate in 11 categorie con proporzioni attese completamente specificate (nessun parametro è stimato dai dati). Quanti gradi di libertà df ha il test?

k = 11

df =

3Soluzioni

1.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: C · 16%

Perché è questa la risposta

Il coefficiente di determinazione è r², qui 0,40² = 0,16, quindi il 16% della varianza è condiviso.

Risposta

C · 16%

2.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: D · Come controllo della manipolazione, per confermare che la VI abbia funzionato come previsto

Perché è questa la risposta

Un controllo della manipolazione verifica che la VI abbia prodotto lo stato psicologico desiderato. Senza di esso, un risultato nullo potrebbe significare che la manipolazione è fallita.

Risposta

D · Come controllo della manipolazione, per confermare che la VI abbia funzionato come previsto

3.Statistica descrittiva

Risposta: s = 13,63

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 225/7 = 32,14

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−13,14)² + (−12,14)² + (−13,14)² + (−1,143)² + 13,86² + 19,86² + 5,857² = 1115

Deviazione standard

s = √(1115/6) = 13,63

Risposta

s = 13,63

4.Statistica descrittiva

Risposta: z = 2

Standardizza

z = (70 − 50)/10 = 2

Risposta

z = 2

5.Probabilità

Risposta: P = 0,2

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0,2

Risposta

P = 0,2

6.Probabilità

Risposta: P = 0,04636

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,6¹⁰ = 0,006047

P(X = 1) = 10·0,4·0,6⁹ = 0,04031

Sommale

P = 0,006047 + 0,04031 = 0,04636

Risposta

P = 0,04636

7.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,8396

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (76 − 100)/15 = −1,6

z₂ = (118,75 − 100)/15 = 1,25

Area compresa

P = Φ(1,25) − Φ(−1,6) = 0,8944 − 0,0548 = 0,8396

Risposta

P = 0,8396

8.Distribuzione normale

Risposta: x = 194,3 cm

z del percentile

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Ritorno a x

x = 178 + 2,326·7 = 194,28 cm

Risposta

x = 194,28 cm

9.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 65,01

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Margine di errore

E = 3,707·12,5/√7 = 17,51

Intervallo

47,5 ± 17,51 → [29,99, 65,01]

Risposta

limite superiore = 65,01

10.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Ricava n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,04² = 1037

Arrotonda per eccesso

n = 1037

Risposta

n = 1037

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −3,063

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

Statistica test

t = (116,5 − 120)/1,143 = −3,063

Risposta

t = −3,063

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 100,1

Margine di errore

E = 2,576·5/√100 = 1,288

Limite dell'intervallo

U = 98,8 + 1,288 = 100,1

Risposta

U = 100,1

13.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,988

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 960 − 42·112/6 = 176

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2544 − 112²/6 = 453,3

Coefficiente di correlazione

r = 176/√(70·453,3) = 0,988

Risposta

r = 0,988

14.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −3,61

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 94/6 = 15,67

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −53

Retta di regressione

b = −53/17,5 = −3,029

a = 15,67 − (−3,029)·3,5 = 26,27

ŷ = 26,27 − 3,029·x

Valore previsto

ŷ = 26,27 + (−3,029)·5,5 = 9,61

Residuo

e = 6 − 9,61 = −3,61

Risposta

e = −3,61

Il punto si trova sotto la retta.

15.Test chi quadrato

Risposta: E = 28,52

Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.

Frequenza attesa

E = 77·60/162 = 28,52

Risposta

E = 28,52

16.Test chi quadrato

Risposta: df = 10

Gradi di libertà

df = 11 − 1 = 10

Risposta

df = 10

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