Metodologia della ricerca e statistica per la psicologia: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Test chi quadrato

Statistica test: χ² = Σ(O − E)²/E
Bontà dell’adattamento: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indipendenza: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valori critici (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisione: rifiuta H₀ se χ² > χ²_crit

2Esercizi

1.Metodi di ricerca in psicologiaMedia

Un ricercatore studia l'effetto del genere sui punteggi di memoria. Perché si tratta di un quasi-esperimento e non di un vero esperimento?

ALa VI è una caratteristica preesistente, quindi i partecipanti non possono esservi assegnati a caso
BLa VD non viene misurata
CLo studio si svolge in laboratorio
DCi sono solo due condizioni, e un vero esperimento richiede almeno tre livelli della VI

2.Metodi di ricerca in psicologiaDifficile

Un partecipante assume un farmaco o una pillola di zucchero ma non sa quale, mentre il ricercatore lo sa. Di quale disegno si tratta e quale distorsione resta possibile?

ADoppio cieco; nessuna distorsione è possibile
BCieco singolo; le caratteristiche della richiesta sono impossibili
CCieco singolo; la distorsione dello sperimentatore è ancora possibile
DStudio in aperto; gli effetti placebo sono completamente controllati

3.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 44, 49, 27, 32, 40, 53, 46.

n = 7

s =

4.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 12. Trova il punteggio z z di un voto pari a 88.

μ = 70σ = 12x = 88

z =

5.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 4 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 4

P =

6.ProbabilitàDifficile

Un test ha 5 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,3, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 1 risposte corrette?

n = 5p = 0,3k = 1

P =

7.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,1949. Trova z con due decimali.

A = 0,1949

z =

8.Distribuzione normaleDifficile

I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 75% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.

μ = 500 hσ = 40 h75%

x = h

9.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 100 telefoni, media 140 h, deviazione standard nota 7 h. Modello 2: 30 telefoni, media 146 h, deviazione standard nota 12 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 140 hσ₁ = 7 hn₂ = 30x̄₂ = 146 hσ₂ = 12 h95%

limite inferiore = h

10.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 13. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 3?

σ = 13E = 399%

n =

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 195,3 e una deviazione standard campionaria di 20. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 195,3s = 20n = 36

t =

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 100 misure ha media 118,5. La deviazione standard della popolazione è 5. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 95 % per la media.

x̄ = 118,5σ = 5n = 10095%

U =

13.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = carico in kN e y = allungamento in mm. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

14.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (3,5, 49). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 49)

e =

15.Test chi quadratoMedia

La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Calcola la statistica chi quadrato χ² per il test di indipendenza tra la variabile di riga e quella di colonna. Non usare la correzione di continuità.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Test chi quadratoDifficile

La tabella riporta le frequenze osservate. Verifica con α = 0,01 se le due variabili sono indipendenti (senza correzione di continuità). Calcola la statistica test χ², poi confrontala con il valore critico della tabella.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Soluzioni

1.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: A · La VI è una caratteristica preesistente, quindi i partecipanti non possono esservi assegnati a caso

Perché è questa la risposta

In un quasi-esperimento la VI è una differenza tra le persone che esiste naturalmente. Senza assegnazione casuale, altre differenze tra i gruppi possono confondere i risultati.

Risposta

A · La VI è una caratteristica preesistente, quindi i partecipanti non possono esservi assegnati a caso

2.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: C · Cieco singolo; la distorsione dello sperimentatore è ancora possibile

Perché è questa la risposta

In un disegno in cieco singolo i partecipanti non conoscono la propria condizione, il che controlla le aspettative legate al placebo. La conoscenza del ricercatore può ancora influenzare i risultati, per cui si preferiscono i disegni in doppio cieco.

Risposta

C · Cieco singolo; la distorsione dello sperimentatore è ancora possibile

3.Statistica descrittiva

Risposta: s = 9,289

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 291/7 = 41,57

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 2,429² + 7,429² + (−14,57)² + (−9,571)² + (−1,571)² + 11,43² + 4,429² = 517,7

Deviazione standard

s = √(517,7/6) = 9,289

Risposta

s = 9,289

4.Statistica descrittiva

Risposta: z = 1,5

Standardizza

z = (88 − 70)/12 = 1,5

Risposta

z = 1,5

5.Probabilità

Risposta: P = 0,5177

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Risposta

P = 0,5177

6.Probabilità

Risposta: P = 0,3601

Formula binomiale

P(X = 1) = 5·0,3¹·0,7⁴ = 5·0,3·0,2401 = 0,3601

Risposta

P = 0,3601

7.Distribuzione normale

Risposta: z = 0,86

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = 1 − 0,1949 = 0,8051

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,8051 dentro la tabella e leggi z.

z = 0,86

Risposta

z = 0,86

8.Distribuzione normale

Risposta: x = 473 h

Area a sinistra

Φ(z) = 0,25

z dalla tabella

z ≈ −0,67

Di nuovo nelle unità originali

x = 500 − 0,67·40 = 473 h

Risposta

x = 473 h

9.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = −10,51 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 140 − 146 = −6

Errore standard

SE = √(7²/100 + 12²/30) = 2,3

Margine di errore

E = 1,96·2,3 = 4,508

Intervallo

−6 ± 4,508 → [−10,51, −1,492]

Risposta

limite inferiore = −10,51 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

10.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 125

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = (2,576·13/3)² = 124,6

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 125

Risposta

n = 125

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −1,41

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 20/√36 = 20/6 = 3,333

Statistica test

t = (195,3 − 200)/3,333 = −1,41

Risposta

t = −1,41

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: U = 119,5

Margine di errore

E = 1,96·5/√100 = 0,98

Limite dell'intervallo

U = 118,5 + 0,98 = 119,5

Risposta

U = 119,5

13.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,9964

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 169/6 = 28,17

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 271

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1057

Coefficiente di correlazione

r = 271/√(70·1057) = 0,9964

Risposta

r = 0,9964

14.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −4,333

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 320/6 = 53,33

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36

Retta di regressione

b = 36/17,5 = 2,057

a = 53,33 − 2,057·3,5 = 46,13

ŷ = 46,13 + 2,057·x

Valore previsto

ŷ = 46,13 + 2,057·3,5 = 53,33

Residuo

e = 49 − 53,33 = −4,333

Risposta

e = −4,333

Il punto si trova sotto la retta.

15.Test chi quadrato

Risposta: χ² = 5,279

Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.

Frequenze attese

nuovo farmaco: 60·88/160 = 33, 60·72/160 = 27

placebo: 100·88/160 = 55, 100·72/160 = 45

Statistica chi quadrato

χ² = (26 − 33)²/33 + (34 − 27)²/27 + (62 − 55)²/55 + (38 − 45)²/45

χ² = 5,279

Risposta

χ² = 5,279

gl = 1. Con α = 0,05 il valore critico è 3,841, quindi H₀ (indipendenza) viene rifiutata.

16.Test chi quadrato

Risposta: χ² = 66,33

Frequenze attese

linea 1: 64, 16

linea 2: 64, 16

linea 3: 48, 12

Statistica chi quadrato

χ² = (70 − 64)²/64 + (10 − 16)²/16 + (79 − 64)²/64 + (1 − 16)²/16 + (27 − 48)²/48 + (33 − 12)²/12

χ² = 66,33

Decisione

df = 2, χ²_crit = 9,210

66,33 > 9,210

Risposta

χ² = 66,33

χ² è sopra il valore critico, quindi H₀ viene rifiutata: le variabili sembrano associate.

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