Metodologia della ricerca e statistica per la psicologia: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Test chi quadrato

Statistica test: χ² = Σ(O − E)²/E
Bontà dell’adattamento: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indipendenza: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valori critici (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisione: rifiuta H₀ se χ² > χ²_crit

2Esercizi

1.Metodi di ricerca in psicologiaMedia

In una distribuzione con asimmetria positiva, come quella del reddito:

AMedia e mediana sono sempre uguali
BNon ci sono punteggi estremi
CLa media è minore della mediana
DLa media è maggiore della mediana

2.Metodi di ricerca in psicologiaDifficile

Uno studio sulla memoria usa un disegno a misure ripetute in cui tutti imparano prima la lista A e poi la lista B. Il ricordo è migliore per la lista B. Qual è il difetto più probabile?

AL'uso di un livello di misura ordinale
BUna dimensione del campione troppo grande
CDifferenze individuali tra i gruppi
DEffetti d'ordine come la pratica, perché le condizioni non sono state bilanciate

3.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 34, 19, 32, 59, 36, 32.

n = 6

s =

4.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 5. Trova il punteggio z z di un voto pari a 55.

μ = 60σ = 5x = 55

z =

5.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 3 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 3

P =

6.ProbabilitàDifficile

Un test ha 11 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,4, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 2 risposte corrette?

n = 11p = 0,4k = 2

P =

7.Distribuzione normaleMedia

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 55 e 73 punti? Dai P come numero decimale.

μ = 65σ = 10x₁ = 55x₂ = 73

P =

8.Distribuzione normaleDifficile

I valori di i pesi dei sacchetti sono distribuiti normalmente con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trascina la soglia in modo che il 80% più basso ombreggiato stia alla sua sinistra. Trova la soglia x.

μ = 250 gσ = 5 g80%

x = g

9.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 80 telefoni, media 48,5 h, deviazione standard nota 9 h. Modello 2: 30 telefoni, media 41,5 h, deviazione standard nota 12 h. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 48,5 hσ₁ = 9 hn₂ = 30x̄₂ = 41,5 hσ₂ = 12 h90%

limite superiore = h

10.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 7. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 95 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 2?

σ = 7E = 295%

n =

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 81 studenti ha un punteggio medio di 200,9 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 200,9s = 12n = 81

t =

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un test z unilaterale di H₀: μ = 500 contro H₁: μ < 500 viene eseguito con α = 0.10 su un campione di 100; la deviazione standard è nota e vale 5. In realtà la media è 498.55. Trova la probabilità di un errore di secondo tipo β in percentuale.

μ₀ = 500μ = 498,55σ = 5n = 100α = 0,10

β = %

13.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.

n = 6

r =

14.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 20?

n = 5ŷ = 20

x =

15.Test chi quadratoMedia

La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Per un test chi quadrato di indipendenza, trova la frequenza attesa E per la cella “turno di notte, nessun difetto”.

totale di riga = 58totale di colonna = 39N = 152

E =

16.Test chi quadratoDifficile

La tabella riporta le frequenze osservate. Verifica con α = 0,01 se le due variabili sono indipendenti (senza correzione di continuità). Calcola la statistica test χ², poi confrontala con il valore critico della tabella.

N = 1803 × 2α = 0,01

χ² =

3Soluzioni

1.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: D · La media è maggiore della mediana

Perché è questa la risposta

Pochi valori molto alti nella coda destra portano la media sopra la mediana, ed è per questo che per i dati asimmetrici si riporta spesso la mediana.

Risposta

D · La media è maggiore della mediana

2.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: D · Effetti d'ordine come la pratica, perché le condizioni non sono state bilanciate

Perché è questa la risposta

Quando tutti i partecipanti affrontano le condizioni nello stesso ordine, il miglioramento può riflettere la pratica anziché la lista. Il bilanciamento (ABBA oppure metà AB e metà BA) controlla questo effetto.

Risposta

D · Effetti d'ordine come la pratica, perché le condizioni non sono state bilanciate

3.Statistica descrittiva

Risposta: s = 13,05

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 212/6 = 35,33

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−1,333)² + (−16,33)² + (−3,333)² + 23,67² + 0,6667² + (−3,333)² = 851,3

Deviazione standard

s = √(851,3/5) = 13,05

Risposta

s = 13,05

4.Statistica descrittiva

Risposta: z = −1

Standardizza

z = (55 − 60)/5 = −1

Risposta

z = −1

5.Probabilità

Risposta: P = 0,4213

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Risposta

P = 0,4213

6.Probabilità

Risposta: P = 0,08868

Formula binomiale

P(X = 2) = 55·0,4²·0,6⁹ = 55·0,16·0,01008 = 0,08868

Risposta

P = 0,08868

7.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,6295

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (55 − 65)/10 = −1

z₂ = (73 − 65)/10 = 0,8

Area compresa

P = Φ(0,8) − Φ(−1) = 0,7881 − 0,1587 = 0,6295

Risposta

P = 0,6295

8.Distribuzione normale

Risposta: x = 254,2 g

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra

Φ(z) = 0,8

z dalla tabella

z ≈ 0,84

Di nuovo nelle unità originali

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Risposta

x = 254,2 g

9.Intervalli di confidenza

Risposta: limite superiore = 10,97 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 48,5 − 41,5 = 7

Errore standard

SE = √(9²/80 + 12²/30) = 2,411

Margine di errore

E = 1,645·2,411 = 3,966

Intervallo

7 ± 3,966 → [3,034, 10,97]

Risposta

limite superiore = 10,97 h

L’intervallo non contiene 0, quindi le medie differiscono in modo significativo.

10.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 48

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Ricava n

n = (1,96·7/2)² = 47,06

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 48

Risposta

n = 48

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 0,675

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Statistica test

t = (200,9 − 200)/1,333 = 0,675

Risposta

t = 0,675

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: β = 5,283 %

Potenza di un test: la potenza = 1 − β è la probabilità di rifiutare H₀ quando è falsa. Trova la soglia x̄c da μ₀ e z_α, poi calcola la probabilità di cadere oltre x̄c usando la media vera: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Media campionaria critica

SE = 5/√100 = 0,5

x̄_c = 500 − 1,282·0,5 = 499,4

z sotto la media vera

z = (499,4 − 498,55)/0,5 = 1,618

Errore di secondo tipo

potenza = P(Z < 1.618) = 94.72%

β = 100% − 94,72% = 5,283%

Risposta

β = 5,283%

13.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = −0,9787

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 111/6 = 18,5

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 123,5

Coefficiente di correlazione

r = −45,5/√(17,5·123,5) = −0,9787

Risposta

r = −0,9787

14.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 2,625

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 97/5 = 19,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16

Retta di regressione

b = −16/10 = −1,6

a = 19,4 − (−1,6)·3 = 24,2

ŷ = 24,2 − 1,6·x

Risolvi per x

x = (20 − 24,2)/(−1,6) = 2,625

Risposta

x = 2,625

15.Test chi quadrato

Risposta: E = 14,88

Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.

Frequenza attesa

E = 58·39/152 = 14,88

Risposta

E = 14,88

16.Test chi quadrato

Risposta: χ² = 15,56

Frequenze attese

stabilimento A: 56, 24

stabilimento B: 42, 18

stabilimento C: 28, 12

Statistica chi quadrato

χ² = (68 − 56)²/56 + (12 − 24)²/24 + (34 − 42)²/42 + (26 − 18)²/18 + (24 − 28)²/28 + (16 − 12)²/12

χ² = 15,56

Decisione

df = 2, χ²_crit = 9,210

15,56 > 9,210

Risposta

χ² = 15,56

χ² è sopra il valore critico, quindi H₀ viene rifiutata: le variabili sembrano associate.

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