Metodologia della ricerca e statistica per la psicologia: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Test chi quadrato

Statistica test: χ² = Σ(O − E)²/E
Bontà dell’adattamento: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indipendenza: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valori critici (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisione: rifiuta H₀ se χ² > χ²_crit

2Esercizi

1.Metodi di ricerca in psicologiaMedia

Perché in un'osservazione le categorie di comportamento vengono operazionalizzate prima della raccolta dei dati?

APerché l'osservazione diventi un esperimento
BPerché gli osservatori registrino gli stessi comportamenti in modo coerente, migliorando l'attendibilità
CPerché l'ipotesi si possa modificare dopo aver visto i dati
DPerché i partecipanti sappiano esattamente che cosa viene registrato

2.Metodi di ricerca in psicologiaDifficile

Un dipartimento di psicologia recluta partecipanti solo dai corsi introduttivi di psicologia. I critici dicono che i campioni sono «WEIRD». A che cosa si riferisce questo termine?

ACampioni insolitamente strani nel loro comportamento
BCampioni reclutati con metodi casuali ponderati
CCampioni che abbandonano presto gli studi
DCampioni occidentali, istruiti, industrializzati, ricchi e democratici, che possono non essere generalizzabili

3.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 24, 44, 40, 10, 60.

n = 5

s =

4.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 75. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 650?

μ = 500σ = 75x = 650

P =

5.ProbabilitàMedia

Si lancia un dado equo 2 volte. Qual è la probabilità P di ottenere almeno un sei?

n = 2

P =

6.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 12 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,25, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 12p = 0,25

P =

7.Distribuzione normaleMedia

Trascina z in modo che l’area ombreggiata tra −z e z sotto la curva normale standard sia 0,9297. Trova z con due decimali.

A = 0,9297

z =

8.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 20 % dei dati (il 20° percentile).

μ = 65σ = 10P = 20%

x = punti

9.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 12 elementi ha media 27,5 e deviazione standard s = 17,5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 12x̄ = 27,5s = 17,595%t(11) = 2,201

limite inferiore =

10.Intervalli di confidenzaDifficile

Uno studio pilota indica che circa 0,1 dei prodotti sono difettosi. Quanti prodotti n si devono ispezionare perché un intervallo di confidenza al 90% per la proporzione abbia un margine di errore di al massimo 0,02?

p ≈ 0,1E = 0,0290%

n =

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 505,3 e una deviazione standard campionaria di 15. Trova la statistica test t per H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 505,3s = 15n = 36

t =

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Un campione di 16 misure ha media 68,3. La deviazione standard della popolazione è 15. Trova il limite inferiore L dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.

x̄ = 68,3σ = 15n = 1699%

L =

13.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

14.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (21,5, 100). Trova il suo residuo e = y − ŷ.

n = 6(21,5, 100)

e =

15.Test chi quadratoMedia

La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Calcola la statistica chi quadrato χ² per il test di indipendenza tra la variabile di riga e quella di colonna. Non usare la correzione di continuità.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Test chi quadratoDifficile

Un test chi quadrato di bontà dell’adattamento confronta le frequenze osservate in 5 categorie con proporzioni attese completamente specificate (nessun parametro è stimato dai dati). Quanti gradi di libertà df ha il test?

k = 5

df =

3Soluzioni

1.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: B · Perché gli osservatori registrino gli stessi comportamenti in modo coerente, migliorando l'attendibilità

Perché è questa la risposta

Categorie chiare e osservabili (per esempio «colpisce a mano aperta») riducono il giudizio soggettivo e aumentano l'attendibilità tra osservatori.

Risposta

B · Perché gli osservatori registrino gli stessi comportamenti in modo coerente, migliorando l'attendibilità

2.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: D · Campioni occidentali, istruiti, industrializzati, ricchi e democratici, che possono non essere generalizzabili

Perché è questa la risposta

Henrich e colleghi osservarono che la maggior parte dei partecipanti agli studi di psicologia proviene da società WEIRD (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic), non rappresentative dell'umanità, il che minaccia la validità di popolazione.

Risposta

D · Campioni occidentali, istruiti, industrializzati, ricchi e democratici, che possono non essere generalizzabili

3.Statistica descrittiva

Risposta: s = 19,2

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 178/5 = 35,6

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−11,6)² + 8,4² + 4,4² + (−25,6)² + 24,4² = 1475

Deviazione standard

s = √(1475/4) = 19,2

Risposta

s = 19,2

4.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,9772

Standardizza

z = 2

Tavola della normale standard

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Risposta

P = 0,9772

5.Probabilità

Risposta: P = 0,3056

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementare

P(nessun sei) = (5/6)² = 0,6944

P = 1 − 0,6944 = 0,3056

Risposta

P = 0,3056

6.Probabilità

Risposta: P = 0,1584

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,75¹² = 0,03168

P(X = 1) = 12·0,25·0,75¹¹ = 0,1267

Sommale

P = 0,03168 + 0,1267 = 0,1584

Risposta

P = 0,1584

7.Distribuzione normale

Risposta: z = 1,81

Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.

Area a sinistra di z

Φ(z) = (1 + 0,9297)/2 = 0,9649

Leggi la tabella z al contrario

Trova 0,9649 dentro la tabella e leggi z.

z = 1,81

Risposta

z = 1,81

8.Distribuzione normale

Risposta: x = 56,58 punti

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Ritorno a x

x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 punti

Risposta

x = 56,58 punti

9.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 16,38

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Margine di errore

E = 2,201·17,5/√12 = 11,12

Intervallo

27,5 ± 11,12 → [16,38, 38,62]

Risposta

limite inferiore = 16,38

10.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 609

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Ricava n

n = 1,645²·0,1·0,9/0,02² = 608,9

Arrotonda per eccesso

n = 609

Risposta

n = 609

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,12

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Statistica test

t = (505,3 − 500)/2,5 = 2,12

Risposta

t = 2,12

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: L = 58,64

Margine di errore

E = 2,576·15/√16 = 9,66

Limite dell'intervallo

L = 68,3 − 9,66 = 58,64

Risposta

L = 58,64

13.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,7206

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 27,2

Coefficiente di determinazione

r² = −14²/(10·27,2) = 0,7206

Risposta

r² = 0,7206

Circa il 72,06% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

14.Regressione lineare e correlazione

Risposta: e = −1,962

Medie

x̄ = 147/6 = 24,5

ȳ = 716/6 = 119,3

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 912

Retta di regressione

b = 912/157,5 = 5,79

a = 119,3 − 5,79·24,5 = −22,53

ŷ = −22,53 + 5,79·x

Valore previsto

ŷ = −22,53 + 5,79·21,5 = 102

Residuo

e = 100 − 102 = −1,962

Risposta

e = −1,962

Il punto si trova sotto la retta.

15.Test chi quadrato

Risposta: χ² = 0,4396

Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.

Frequenze attese

uomini: 60·63/180 = 21, 60·117/180 = 39

donne: 120·63/180 = 42, 120·117/180 = 78

Statistica chi quadrato

χ² = (19 − 21)²/21 + (41 − 39)²/39 + (44 − 42)²/42 + (76 − 78)²/78

χ² = 0,4396

Risposta

χ² = 0,4396

gl = 1. Con α = 0,05 il valore critico è 3,841, quindi H₀ (indipendenza) non viene rifiutata.

16.Test chi quadrato

Risposta: df = 4

Gradi di libertà

df = 5 − 1 = 4

Risposta

df = 4

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