Metodologia della ricerca e statistica per la psicologia: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Test chi quadrato

Statistica test: χ² = Σ(O − E)²/E
Bontà dell’adattamento: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indipendenza: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valori critici (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisione: rifiuta H₀ se χ² > χ²_crit

2Esercizi

1.Metodi di ricerca in psicologiaMedia

Un'alfa di Cronbach di 0,88 per una scala d'ansia di 15 item indica:

AChe la scala ha un effetto significativo sull'ansia
BChe i punteggi sono stabili per sei mesi
CUna buona coerenza interna degli item
DChe la scala predice bene l'ansia futura

2.Metodi di ricerca in psicologiaDifficile

Una scala self-report rileva che le persone che concordano con molte affermazioni ottengono punteggi alti indipendentemente dal contenuto. Di quale distorsione di risposta si tratta, e come si può ridurre?

ACaratteristiche della richiesta; usare un disegno in doppio cieco
BAcquiescenza; includere item formulati al contrario
CDesiderabilità sociale; usare un campione più grande
DEffetti d'ordine; bilanciare i partecipanti

3.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 10, 22, 28, 35, 22, 12.

n = 6

s =

4.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 500 e deviazione standard 50. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 460?

μ = 500σ = 50x = 460

P =

5.ProbabilitàMedia

In quanti modi N si può scegliere un comitato di 2 persone da un gruppo di 10? L'ordine non conta.

n = 10k = 2

N =

6.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 6 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 6p = 0,5

P =

7.Distribuzione normaleMedia

X è normale con media 120 mm e deviazione standard 0,3 mm; Y è indipendente e normale con media 80 mm e deviazione standard 0,4 mm. Trova la probabilità P che X + Y sia maggiore di 201 mm. Arrotonda z a due decimali.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 201 mm

P =

8.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i pesi dei sacchetti abbiano una distribuzione normale con media 250 g e deviazione standard 5 g. Trova il valore x sotto il quale si trova il 20 % dei dati (il 20° percentile).

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

9.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 10 elementi ha media 99,5 e deviazione standard s = 5. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 95 % per la media.

n = 10x̄ = 99,5s = 595%t(9) = 2,262

limite inferiore =

10.Intervalli di confidenzaDifficile

La deviazione standard della popolazione è 37. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 4?

σ = 37E = 490%

n =

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 54,2 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 54,2s = 12n = 36

t =

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 2,5? La deviazione standard è 5. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 5E = 2,599%

n =

13.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

14.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 53?

n = 5ŷ = 53

x =

15.Test chi quadratoMedia

La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Calcola la statistica chi quadrato χ² per il test di indipendenza tra la variabile di riga e quella di colonna. Non usare la correzione di continuità.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Test chi quadratoDifficile

Un test chi quadrato di bontà dell’adattamento confronta le frequenze osservate in 4 categorie con proporzioni attese completamente specificate (nessun parametro è stimato dai dati). Usando la tabella, trova il valore critico χ²_crit al livello di significatività α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Soluzioni

1.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: C · Una buona coerenza interna degli item

Perché è questa la risposta

L'alfa di Cronbach stima la coerenza interna; valori intorno a 0,7 o superiori sono di solito considerati accettabili. Da sola non dimostra la validità.

Risposta

C · Una buona coerenza interna degli item

2.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: B · Acquiescenza; includere item formulati al contrario

Perché è questa la risposta

L'acquiescenza è la tendenza a concordare con gli item. Mescolando item formulati in senso positivo e negativo, concordare con tutto non produce più un punteggio estremo.

Risposta

B · Acquiescenza; includere item formulati al contrario

3.Statistica descrittiva

Risposta: s = 9,46

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 129/6 = 21,5

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−11,5)² + 0,5² + 6,5² + 13,5² + 0,5² + (−9,5)² = 447,5

Deviazione standard

s = √(447,5/5) = 9,46

Risposta

s = 9,46

4.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,2119

Standardizza

z = −0,8

Tavola della normale standard

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Risposta

P = 0,2119

5.Probabilità

Risposta: N = 45

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinazioni

C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45

Risposta

N = 45

6.Probabilità

Risposta: P = 0,1094

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,5⁶ = 0,01563

P(X = 1) = 6·0,5·0,5⁵ = 0,09375

Sommale

P = 0,01563 + 0,09375 = 0,1094

Risposta

P = 0,1094

7.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,02275

Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², quindi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).

Distribuzione della somma

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standardizza

z = (201 − 200)/0,5 = 2

Coda superiore

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Risposta

P = 0,02275

8.Distribuzione normale

Risposta: x = 245,8 g

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

z del percentile

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Ritorno a x

x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g

Risposta

x = 245,79 g

9.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 95,92

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Margine di errore

E = 2,262·5/√10 = 3,577

Intervallo

99,5 ± 3,577 → [95,92, 103,1]

Risposta

limite inferiore = 95,92

10.Intervalli di confidenza

Risposta: n = 232

Ricava n

n = (1,645·37/4)² = 231,5

Arrotonda per eccesso

La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.

n = 232

Risposta

n = 232

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = 2,1

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Statistica test

t = (54,2 − 50)/2 = 2,1

Risposta

t = 2,1

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 27

Ricava n

n = (2,576·5/2,5)² = 26,54

Arrotonda per eccesso

n = 27

Risposta

n = 27

13.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9647

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 451/5 = 90,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 423

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2061

Coefficiente di determinazione

r² = 423²/(90·2061) = 0,9647

Risposta

r² = 0,9647

Circa il 96,47% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

14.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 1,867

Medie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 312/5 = 62,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

Retta di regressione

b = 120/40 = 3

a = 62,4 − 3·5 = 47,4

ŷ = 47,4 + 3·x

Risolvi per x

x = (53 − 47,4)/3 = 1,867

Risposta

x = 1,867

15.Test chi quadrato

Risposta: χ² = 2,683

Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.

Frequenze attese

turno di giorno: 40·42/140 = 12, 40·42/140 = 12, 40·56/140 = 16

turno di notte: 100·42/140 = 30, 100·42/140 = 30, 100·56/140 = 40

Statistica chi quadrato

χ² = (8 − 12)²/12 + (14 − 12)²/12 + (18 − 16)²/16 + (34 − 30)²/30 + (28 − 30)²/30 + (38 − 40)²/40

χ² = 2,683

Risposta

χ² = 2,683

gl = 2. Con α = 0,05 il valore critico è 5,991, quindi H₀ (indipendenza) non viene rifiutata.

16.Test chi quadrato

Risposta: χ²_crit = 11,35

Gradi di libertà

df = 4 − 1 = 3

Tabella

χ²_crit(df = 3, α = 0,01) = 11,345

Risposta

χ²_crit = 11,345

Rifiuta H₀ se il χ² calcolato è maggiore di questo valore.

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