Statistica descrittiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Deviazione standard campionaria
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valore centrale dei dati ordinati
- Punteggio z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuzione normale
- 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Metodologia della ricerca e statistica per la psicologia: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Probabilità
- Complementare
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regola della somma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventi indipendenti
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilità condizionata
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomiale
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuzione normale
- Punteggio z
- z = (x − μ)/σ
- Sotto x
- P(X < x) = Φ(z)
- Sopra x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tra due valori
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentile
- x = μ + z·σ
Metodo
- Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
- Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
- Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
- Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.
Intervalli di confidenza
- σ nota
- x̄ ± z·σ/√n
- σ incognita
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z critico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Numerosità campionaria
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
- Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
- Trova il valore critico per il livello di confidenza.
- Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
- Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
- Test z per una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t per una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilaterale al 5%
- rifiuta H0 se |z| > 1,96
- Intervallo di confidenza
- x̄ ± z·σ/√n
Metodo
- Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
- Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
- Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
- Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
Regressione lineare e correlazione
- Somme dei quadrati
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendenza
- b = Sxy/Sxx
- Intercetta
- a = ȳ − b·x̄
- Correlazione
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
Test chi quadrato
- Statistica test
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Bontà dell’adattamento
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Indipendenza
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Valori critici (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decisione
- rifiuta H0 se χ² > χ²crit
2Esercizi
1.Metodi di ricerca in psicologiaMedia
Uno studente ottiene 130 in un test con media 100 e deviazione standard 15. Qual è il punteggio z?
- A0,5
- B1,5
- C2,0
- D3,0
2.Metodi di ricerca in psicologiaDifficile
Un partecipante assume un farmaco o una pillola di zucchero ma non sa quale, mentre il ricercatore lo sa. Di quale disegno si tratta e quale distorsione resta possibile?
- AStudio in aperto; gli effetti placebo sono completamente controllati
- BDoppio cieco; nessuna distorsione è possibile
- CCieco singolo; le caratteristiche della richiesta sono impossibili
- DCieco singolo; la distorsione dello sperimentatore è ancora possibile
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 36, 27, 11, 23, 39, 12.
n = 6
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 20. Trova il punteggio z z di un voto pari a 40.
μ = 60σ = 20x = 40
z =
5.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 2 persone da un gruppo di 7? L'ordine non conta.
n = 7k = 2
N =
6.ProbabilitàDifficile
Si collaudano 11 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,5, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?
n = 11p = 0,5
P =
7.Distribuzione normaleMedia
Supponi che i voti di un esame abbiano una distribuzione normale con media 65 punti e deviazione standard 10 punti. Quale frazione è compresa tra 65,5 e 85,5 punti? Dai P come numero decimale.
μ = 65σ = 10x1 = 65,5x2 = 85,5
P =
8.Distribuzione normaleDifficile
Supponi che i tempi di consegna abbiano una distribuzione normale con media 32 min e deviazione standard 6 min. Trova il valore x sotto il quale si trova il 20 % dei dati (il 20° percentile).
μ = 32σ = 6P = 20%
x = min
9.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 13 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 4,7 e deviazione standard 6,2. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99% per la differenza media.
n = 13d̄ = 4,7sd = 6,299%t(12) = 3,055
limite inferiore = mmHg
10.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 5. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 90 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?
σ = 5E = 190%
n =
11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 25 studenti ha un punteggio medio di 125,8 e una deviazione standard campionaria di 12. Trova la statistica test t per H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 125,8s = 12n = 25
t =
12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
In una sperimentazione, 30 pazienti su 120 con il trattamento A guariscono, e 43 su 120 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 30n₁ = 120x₂ = 43n₂ = 120
z =
13.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
n = 6Σx = 114Σy = 515Σx² = 2236Σy² = 45835Σxy = 10118
r =
14.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Prevedi ŷ per x = 25.
n = 6x = 25
ŷ =
15.Test chi quadratoMedia
La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Calcola la statistica chi quadrato χ² per il test di indipendenza tra la variabile di riga e quella di colonna. Non usare la correzione di continuità.
N = 1602 × 3
χ² =
16.Test chi quadratoDifficile
Un test chi quadrato di bontà dell’adattamento verifica se le frequenze in 9 categorie seguono una distribuzione di Poisson la cui media è stimata dagli stessi dati. Usando la tabella, trova il valore critico χ²crit al livello di significatività α = 0,05.
α = 0,05
χ²crit =
3Soluzioni
1.Metodi di ricerca in psicologia
Risposta: C · 2,0
Perché è questa la risposta
(130 − 100) / 15 = 2. Il punteggio si trova due deviazioni standard sopra la media, più alto di quello di circa il 97–98% delle persone.
Risposta
C · 2,0
2.Metodi di ricerca in psicologia
Risposta: D · Cieco singolo; la distorsione dello sperimentatore è ancora possibile
Perché è questa la risposta
In un disegno in cieco singolo i partecipanti non conoscono la propria condizione, il che controlla le aspettative legate al placebo. La conoscenza del ricercatore può ancora influenzare i risultati, per cui si preferiscono i disegni in doppio cieco.
Risposta
D · Cieco singolo; la distorsione dello sperimentatore è ancora possibile
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 11,74
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Media
x̄ = 148/6 = 24,67
Scarti al quadrato
Σ(x − x̄)² = 11,33² + 2,333² + (−13,67)² + (−1,667)² + 14,33² + (−12,67)² = 689,3
Deviazione standard
s = √(689,3/5) = 11,74
Risposta
s = 11,74
4.Statistica descrittiva
Risposta: z = −1
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = (40 − 60)/20 = −1
Risposta
z = −1
5.Probabilità
Risposta: N = 21
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(7, 2) = (7·6)/(2·1) = 21
Risposta
N = 21
6.Probabilità
Risposta: P = 0,005859
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Zero e un guasto
P(X = 0) = 0,511 = 0,0004883
P(X = 1) = 11·0,5·0,510 = 0,005371
Sommale
P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859
Risposta
P = 0,005859
7.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,4599
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
Punteggi z
z₁ = (65,5 − 65)/10 = 0,05
z₂ = (85,5 − 65)/10 = 2,05
Area compresa
P = Φ(2,05) − Φ(0,05) = 0,9798 − 0,5199 = 0,4599
Risposta
P = 0,4599
8.Distribuzione normale
Risposta: x = 26,95 min
Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.
z del percentile
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Ritorno a x
x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min
Risposta
x = 26,95 min
9.Intervalli di confidenza
Risposta: limite inferiore = −0,5533 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 12, t = 3,055
Margine di errore
E = 3,055·6,2/√13 = 5,253
Intervallo
4,7 ± 5,253 → [−0,5533, 9,953]
Risposta
limite inferiore = −0,5533 mmHg
10.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 68
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (1,645·5/1)² = 67,65
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 68
Risposta
n = 68
11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: t = 2,417
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Errore standard
SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4
Statistica test
t = (125,8 − 120)/2,4 = 2,417
Risposta
t = 2,417
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| > 2,064, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: z = −1,824
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Proporzioni campionarie
p̂₁ = 30/120 = 0,25
p̂₂ = 43/120 = 0,3583
p̂ = 73/240 = 0,3042
Errore standard sotto H₀
SE = √(0,3042·0,6958·(1/120 + 1/120)) = 0,05939
Statistica test
z = (0,25 − 0,3583)/0,05939 = −1,824
Risposta
z = −1,824
|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).
13.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9856
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 10118 − 114·515/6 = 333
Sxx = 2236 − 114²/6 = 70
Syy = 45835 − 515²/6 = 1631
Coefficiente di correlazione
r = 333/√(70·1631) = 0,9856
Risposta
r = 0,9856
14.Regressione lineare e correlazione
Risposta: ŷ = 136,4
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 748/6 = 124,7
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 412
Retta di regressione
b = 412/70 = 5,886
a = 124,7 − 5,886·23 = −10,7
ŷ = −10,7 + 5,886·x
Previsione
ŷ = −10,7 + 5,886·25 = 136,4
Risposta
ŷ = 136,4
15.Test chi quadrato
Risposta: χ² = 17,65
Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.
Frequenze attese
urbano: 100·40/160 = 25, 100·56/160 = 35, 100·64/160 = 40
rurale: 60·40/160 = 15, 60·56/160 = 21, 60·64/160 = 24
Statistica chi quadrato
χ² = (27 − 25)²/25 + (45 − 35)²/35 + (28 − 40)²/40 + (13 − 15)²/15 + (11 − 21)²/21 + (36 − 24)²/24
χ² = 17,65
Risposta
χ² = 17,65
gl = 2. Con α = 0,05 il valore critico è 5,991, quindi H₀ (indipendenza) viene rifiutata.
16.Test chi quadrato
Risposta: χ²crit = 14,07
Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.
Gradi di libertà
df = 9 − 1 − 1 = 7
Tabella
χ²crit(df = 7, α = 0,05) = 14,067
Risposta
χ²crit = 14,067
Rifiuta H₀ se il χ² calcolato è maggiore di questo valore.
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