Metodologia della ricerca e statistica per la psicologia: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi esercizi Torna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

Test chi quadrato

Statistica test: χ² = Σ(O − E)²/E
Bontà dell’adattamento: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Indipendenza: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Valori critici (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Decisione: rifiuta H₀ se χ² > χ²_crit

2Esercizi

1.Metodi di ricerca in psicologiaMedia

Uno studio è preregistrato. Ciò significa che:

AI partecipanti registrano il loro consenso online
BLo studio è già stato pubblicato
CIpotesi, metodi e piano di analisi sono registrati pubblicamente prima della raccolta dei dati
DI risultati sono stati controllati e approvati da un secondo statistico indipendente prima della pubblicazione

2.Metodi di ricerca in psicologiaDifficile

Un ricercatore trova che le vendite di gelato e le morti per annegamento sono correlate positivamente. Quale spiegazione è più plausibile?

ALa correlazione deve essere un errore di calcolo
BGli annegamenti aumentano le vendite di gelato
CIl gelato causa l'annegamento
DIl caldo aumenta sia le vendite di gelato sia il nuoto

3.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 48, 47, 25, 23, 36, 46, 57.

n = 7

s =

4.Statistica descrittivaDifficile

I voti di un esame hanno distribuzione normale con media 70 e deviazione standard 12. Trova il punteggio z z di un voto pari a 74,8.

μ = 70σ = 12x = 74,8

z =

5.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 4 palline rosse e 8 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

4 / 8

P =

6.ProbabilitàDifficile

Si collaudano 8 componenti, e ciascuno si guasta con probabilità 0,7, in modo indipendente. Qual è la probabilità P che se ne guasti al massimo uno?

n = 8p = 0,7

P =

7.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Quale frazione è compresa tra 442 e 522 h? Dai P come numero decimale.

μ = 500σ = 40x₁ = 442x₂ = 522

P =

8.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che le altezze degli uomini adulti abbiano una distribuzione normale con media 178 cm e deviazione standard 7 cm. Trova il valore x sotto il quale si trova il 75 % dei dati (il 75° percentile).

μ = 178σ = 7P = 75%

x = cm

9.Intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 21 elementi ha media 37,5 e deviazione standard s = 16. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.

n = 21x̄ = 37,5s = 1699%t(20) = 2,845

limite inferiore =

10.Intervalli di confidenzaDifficile

Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 8 parcelle, resa media 38,5 kg, deviazione standard 6 kg. Gruppo di parcelle 2: 8 parcelle, media 27 kg, deviazione standard 3 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 95% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 38,5s₁ = 6n₂ = 8x̄₂ = 27s₂ = 395%t(14) = 2,145

E = kg

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Si afferma che la media di una popolazione sia 80; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 5. Un campione casuale di 25 osservazioni ha media 82,48. Verifica H₀: μ = 80 contro H₁: μ > 80. Trova il p-value p.

μ₀ = 80σ = 5n = 25x̄ = 82,48H₁: μ > μ₀

p =

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

Quanto deve essere grande un campione perché l'intervallo di confidenza al 99 % per una media abbia un margine di errore di al massimo 3? La deviazione standard è 5. Trova la dimensione minima del campione n.

σ = 5E = 399%

n =

13.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Trova il coefficiente di determinazione r² della retta dei minimi quadrati.

n = 5

r² =

14.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 111?

n = 5ŷ = 111

x =

15.Test chi quadratoMedia

La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Calcola la statistica chi quadrato χ² per il test di indipendenza tra la variabile di riga e quella di colonna. Non usare la correzione di continuità.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Test chi quadratoDifficile

Si esegue un test chi quadrato di indipendenza su una tabella di contingenza con 2 righe e 3 colonne (totali esclusi). Quanti gradi di libertà df ha il test?

2 × 3

df =

3Soluzioni

1.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: C · Ipotesi, metodi e piano di analisi sono registrati pubblicamente prima della raccolta dei dati

Perché è questa la risposta

La preregistrazione separa le analisi confermative da quelle esplorative e riduce pratiche come il p-hacking e l'HARKing.

Risposta

C · Ipotesi, metodi e piano di analisi sono registrati pubblicamente prima della raccolta dei dati

2.Metodi di ricerca in psicologia

Risposta: D · Il caldo aumenta sia le vendite di gelato sia il nuoto

Perché è questa la risposta

Una terza variabile, la temperatura, causa entrambe. Questo esempio mostra perché la sola correlazione non può dimostrare la causalità.

Risposta

D · Il caldo aumenta sia le vendite di gelato sia il nuoto

3.Statistica descrittiva

Risposta: s = 12,7

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 282/7 = 40,29

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = 7,714² + 6,714² + (−15,29)² + (−17,29)² + (−4,286)² + 5,714² + 16,71² = 967,4

Deviazione standard

s = √(967,4/6) = 12,7

Risposta

s = 12,7

4.Statistica descrittiva

Risposta: z = 0,4

Standardizza

z = (74,8 − 70)/12 = 0,4

Risposta

z = 0,4

5.Probabilità

Risposta: P = 0,09091

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091

Risposta

P = 0,09091

6.Probabilità

Risposta: P = 0,00129

Zero e un guasto

P(X = 0) = 0,3⁸ = 6,561 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 8·0,7·0,3⁷ = 0,001225

Sommale

P = 6,561 × 10⁻⁵ + 0,001225 = 0,00129

Risposta

P = 0,00129

7.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,6353

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (442 − 500)/40 = −1,45

z₂ = (522 − 500)/40 = 0,55

Area compresa

P = Φ(0,55) − Φ(−1,45) = 0,7088 − 0,07353 = 0,6353

Risposta

P = 0,6353

8.Distribuzione normale

Risposta: x = 182,7 cm

z del percentile

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

Ritorno a x

x = 178 + 0,6745·7 = 182,72 cm

Risposta

x = 182,72 cm

9.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = 27,57

Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.

Valore critico

df = n − 1 = 20, t = 2,845

Margine di errore

E = 2,845·16/√21 = 9,933

Intervallo

37,5 ± 9,933 → [27,57, 47,43]

Risposta

limite inferiore = 27,57

10.Intervalli di confidenza

Risposta: E = 5,087 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Deviazione standard combinata

s_p² = (7·6² + 7·3²)/14 = 22,5

s_p = 4,743

Margine di errore

E = 2,145·4,743·√(1/8 + 1/8) = 5,087

Risposta

E = 5,087 kg

11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: p = 0,006569

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistica test

SE = σ/√n = 5/√25 = 1

z = (82,48 − 80)/1 = 2,48

Area della coda

Φ(2,48) = 0,9934

1 − Φ(2,48) = 0,0066

p-value

p = 0,006569

Risposta

p = 0,006569

p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.

12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: n = 19

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Ricava n

n = (2,576·5/3)² = 18,43

Arrotonda per eccesso

n = 19

Risposta

n = 19

13.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r² = 0,9357

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Medie

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 279/5 = 55,8

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 508,8

Coefficiente di determinazione

r² = 138²/(40·508,8) = 0,9357

Risposta

r² = 0,9357

Circa il 93,57% della variabilità di y è spiegato dalla retta.

14.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 21,02

Medie

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 532/5 = 106,4

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

Retta di regressione

b = 180/40 = 4,5

a = 106,4 − 4,5·20 = 16,4

ŷ = 16,4 + 4,5·x

Risolvi per x

x = (111 − 16,4)/4,5 = 21,02

Risposta

x = 21,02

15.Test chi quadrato

Risposta: χ² = 25,42

Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.

Frequenze attese

studenti: 80·60/120 = 40, 80·30/120 = 20, 80·30/120 = 20

personale: 40·60/120 = 20, 40·30/120 = 10, 40·30/120 = 10

Statistica chi quadrato

χ² = (53 − 40)²/40 + (14 − 20)²/20 + (13 − 20)²/20 + (7 − 20)²/20 + (16 − 10)²/10 + (17 − 10)²/10

χ² = 25,42

Risposta

χ² = 25,42

gl = 2. Con α = 0,05 il valore critico è 5,991, quindi H₀ (indipendenza) viene rifiutata.

16.Test chi quadrato

Risposta: df = 2

Gradi di libertà

df = (2 − 1)·(3 − 1) = 2

Risposta

df = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology