Statistica descrittiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Deviazione standard campionaria
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valore centrale dei dati ordinati
- Punteggio z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuzione normale
- 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Metodologia della ricerca e statistica per la psicologia: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 16 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Probabilità
- Complementare
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regola della somma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventi indipendenti
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilità condizionata
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomiale
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuzione normale
- Punteggio z
- z = (x − μ)/σ
- Sotto x
- P(X < x) = Φ(z)
- Sopra x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tra due valori
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentile
- x = μ + z·σ
Metodo
- Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
- Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
- Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
- Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.
Intervalli di confidenza
- σ nota
- x̄ ± z·σ/√n
- σ incognita
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z critico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Numerosità campionaria
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
- Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
- Trova il valore critico per il livello di confidenza.
- Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
- Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
- Test z per una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t per una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilaterale al 5%
- rifiuta H0 se |z| > 1,96
- Intervallo di confidenza
- x̄ ± z·σ/√n
Metodo
- Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
- Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
- Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
- Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
Regressione lineare e correlazione
- Somme dei quadrati
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendenza
- b = Sxy/Sxx
- Intercetta
- a = ȳ − b·x̄
- Correlazione
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
Test chi quadrato
- Statistica test
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Bontà dell’adattamento
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Indipendenza
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Valori critici (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Decisione
- rifiuta H0 se χ² > χ²crit
2Esercizi
1.Metodi di ricerca in psicologiaMedia
In una distribuzione normale, circa quale percentuale dei punteggi si trova entro una deviazione standard dalla media?
- A68%
- B50%
- C95%
- D99,7%
2.Metodi di ricerca in psicologiaDifficile
Un'ANOVA a una via che confronta quattro gruppi è significativa. Che cosa dovrebbe fare poi il ricercatore per scoprire quali gruppi differiscono?
- AConcludere che tutti e quattro i gruppi differiscono tra loro
- BRiportare il risultato come una correlazione
- CEseguire test post hoc come l'HSD di Tukey
- DEseguire un test chi-quadrato sulle medie
3.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 25, 11, 34, 32, 60.
n = 5
s =
4.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 170 e deviazione standard 12. Quale proporzione P dei valori è inferiore a 182?
μ = 170σ = 12x = 182
P =
5.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 5 persone da un gruppo di 11? L'ordine non conta.
n = 11k = 5
N =
6.ProbabilitàDifficile
Un test ha 6 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?
n = 6p = 0,1k = 5
P =
7.Distribuzione normaleMedia
Trascina z in modo che l’area ombreggiata sotto la curva normale standard, a destra di z, sia 0,2177. Trova z con due decimali.
A = 0,2177
z =
8.Distribuzione normaleDifficile
I valori di le durate delle batterie sono distribuiti normalmente con media 500 h e deviazione standard 40 h. Trascina la soglia in modo che il 30% più alto ombreggiato stia alla sua destra. Trova la soglia x.
μ = 500 hσ = 40 h30%
x = h
9.Intervalli di confidenzaMedia
La pressione arteriosa di 9 pazienti viene misurata prima e dopo un trattamento. Le differenze d = prima − dopo (mmHg) hanno media 9,7 e deviazione standard 4. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 95% per la differenza media.
n = 9d̄ = 9,7sd = 495%t(8) = 2,306
limite superiore = mmHg
10.Intervalli di confidenzaDifficile
Si provano due fertilizzanti. Gruppo di parcelle 1: 6 parcelle, resa media 39,5 kg, deviazione standard 5 kg. Gruppo di parcelle 2: 6 parcelle, media 33,5 kg, deviazione standard 4 kg. Supponi varianze uguali (t combinato, df = n₁ + n₂ − 2). Trova il margine di errore E dell’intervallo di confidenza al 90% per μ₁ − μ₂.
n₁ = 6x̄₁ = 39,5s₁ = 5n₂ = 6x̄₂ = 33,5s₂ = 490%t(10) = 1,812
E = kg
11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 250; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 36. Un campione casuale di 144 osservazioni ha media 255,46. Verifica H₀: μ = 250 contro H₁: μ > 250. Trova il p-value p.
μ₀ = 250σ = 36n = 144x̄ = 255,46H₁: μ > μ₀
p =
12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 49 misure ha media 118,6. La deviazione standard della popolazione è 12. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 99 % per la media.
x̄ = 118,6σ = 12n = 4999%
U =
13.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = età dell’auto in anni e y = prezzo in k€. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.
n = 5Σx = 15Σy = 99Σx² = 55Σy² = 1999Σxy = 282
r =
14.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Si effettua una nuova osservazione (8, 95). Trova il suo residuo e = y − ŷ.
n = 6(8, 95)
e =
15.Test chi quadratoMedia
La tabella di contingenza riporta le frequenze osservate. Calcola la statistica chi quadrato χ² per il test di indipendenza tra la variabile di riga e quella di colonna. Non usare la correzione di continuità.
N = 1202 × 2
χ² =
16.Test chi quadratoDifficile
Un test chi quadrato di bontà dell’adattamento verifica se le frequenze in 5 categorie seguono una distribuzione di Poisson la cui media è stimata dagli stessi dati. Usando la tabella, trova il valore critico χ²crit al livello di significatività α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Soluzioni
1.Metodi di ricerca in psicologia
Risposta: A · 68%
Perché è questa la risposta
Circa il 68% dei punteggi cade entro ±1 DS, circa il 95% entro ±2 DS e circa il 99,7% entro ±3 DS.
Risposta
A · 68%
2.Metodi di ricerca in psicologia
Risposta: C · Eseguire test post hoc come l'HSD di Tukey
Perché è questa la risposta
Un F significativo mostra che non tutte le medie sono uguali. I test post hoc o i contrasti pianificati individuano quali coppie differiscono controllando il tasso di errore.
Risposta
C · Eseguire test post hoc come l'HSD di Tukey
3.Statistica descrittiva
Risposta: s = 17,87
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Media
x̄ = 162/5 = 32,4
Scarti al quadrato
Σ(x − x̄)² = (−7,4)² + (−21,4)² + 1,6² + (−0,4)² + 27,6² = 1277
Deviazione standard
s = √(1277/4) = 17,87
Risposta
s = 17,87
4.Statistica descrittiva
Risposta: P = 0,8413
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = 1
Tavola della normale standard
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
5.Probabilità
Risposta: N = 462
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(11, 5) = (11·10·9·8·7)/(5·4·3·2·1) = 462
Risposta
N = 462
6.Probabilità
Risposta: P = 5,4 × 10⁻⁵
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomiale
P(X = 5) = 6·0,15·0,91 = 6·1 × 10⁻⁵·0,9 = 5,4 × 10⁻⁵
Risposta
P = 5,4 × 10⁻⁵
7.Distribuzione normale
Risposta: z = 0,78
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra di z
Φ(z) = 1 − 0,2177 = 0,7823
Leggi la tabella z al contrario
Trova 0,7823 dentro la tabella e leggi z.
z = 0,78
Risposta
z = 0,78
8.Distribuzione normale
Risposta: x = 521 h
Da un’area a z: Φ(z) è l’area a sinistra di z. Per un’area di coda sinistra A, trova z con Φ(z) = A nella tabella. Un’area di coda destra A significa Φ(z) = 1 − A. Un’area centrale A tra −z e z lascia (1 − A)/2 in ciascuna coda, quindi Φ(z) = (1 + A)/2. Per un valore x, usa x = μ + zσ.
Area a sinistra
Φ(z) = 0,7
z dalla tabella
z ≈ 0,52
Di nuovo nelle unità originali
x = 500 + 0,52·40 = 521 h
Risposta
x = 521 h
9.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 12,77 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Valore critico
df = 8, t = 2,306
Margine di errore
E = 2,306·4/√9 = 3,075
Intervallo
9,7 ± 3,075 → [6,625, 12,77]
Risposta
limite superiore = 12,77 mmHg
10.Intervalli di confidenza
Risposta: E = 4,737 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Deviazione standard combinata
sp² = (5·5² + 5·4²)/10 = 20,5
sp = 4,528
Margine di errore
E = 1,812·4,528·√(1/6 + 1/6) = 4,737
Risposta
E = 4,737 kg
11.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,03438
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 36/√144 = 3
z = (255,46 − 250)/3 = 1,82
Area della coda
Φ(1,82) = 0,9656
1 − Φ(1,82) = 0,0344
p-value
p = 0,03438
Risposta
p = 0,03438
p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.
12.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 123
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 2,576·12/√49 = 4,416
Limite dell'intervallo
U = 118,6 + 4,416 = 123
Risposta
U = 123
13.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = −0,7615
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Somme centrate
Sxy = 282 − 15·99/5 = −15
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1999 − 99²/5 = 38,8
Coefficiente di correlazione
r = −15/√(10·38,8) = −0,7615
Risposta
r = −0,7615
14.Regressione lineare e correlazione
Risposta: e = 1,833
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 559/6 = 93,17
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 485
Retta di regressione
b = 485/70 = 6,929
a = 93,17 − 6,929·8 = 37,74
ŷ = 37,74 + 6,929·x
Valore previsto
ŷ = 37,74 + 6,929·8 = 93,17
Residuo
e = 95 − 93,17 = 1,833
Risposta
e = 1,833
Il punto si trova sopra la retta.
15.Test chi quadrato
Risposta: χ² = 23,47
Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.
Frequenze attese
nuovo farmaco: 60·72/120 = 36, 60·48/120 = 24
placebo: 60·72/120 = 36, 60·48/120 = 24
Statistica chi quadrato
χ² = (49 − 36)²/36 + (11 − 24)²/24 + (23 − 36)²/36 + (37 − 24)²/24
χ² = 23,47
Risposta
χ² = 23,47
gl = 1. Con α = 0,05 il valore critico è 3,841, quindi H₀ (indipendenza) viene rifiutata.
16.Test chi quadrato
Risposta: χ²crit = 11,35
Test chi quadrato: confronta le frequenze osservate O con le frequenze E attese sotto H₀ usando χ² = Σ(O − E)²/E. Bontà dell’adattamento: E = n·p per ogni categoria, gl = k − 1 (meno uno in più per ogni parametro stimato dai dati). Indipendenza in una tabella r × c: E = totale di riga × totale di colonna / totale generale, gl = (r − 1)(c − 1). Rifiuta H₀ quando χ² supera il valore critico per l’α scelto.
Gradi di libertà
df = 5 − 1 − 1 = 3
Tabella
χ²crit(df = 3, α = 0,01) = 11,345
Risposta
χ²crit = 11,345
Rifiuta H₀ se il χ² calcolato è maggiore di questo valore.
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