Statistica: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Statistica descrittiva

Media: x̄ = Σx/n
Deviazione standard campionaria: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valore centrale dei dati ordinati
Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Distribuzione normale: 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ

Probabilità

Complementare: P(not A) = 1 − P(A)
Regola della somma: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventi indipendenti: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilità condizionata: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomiale: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuzione normale

Punteggio z: z = (x − μ)/σ
Sotto x: P(X < x) = Φ(z)
Sopra x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tra due valori: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentile: x = μ + z·σ

Metodo

Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.

Intervalli di confidenza

σ nota: x̄ ± z·σ/√n
σ incognita: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z critico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Numerosità campionaria: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodo

Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
Trova il valore critico per il livello di confidenza.
Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
Intervallo: x̄ ± E.

Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Test z per una media: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Test t per una media: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilaterale al 5%: rifiuta H₀ se |z| > 1,96
Intervallo di confidenza: x̄ ± z·σ/√n

Metodo

Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.

Regressione lineare e correlazione

Somme dei quadrati: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Pendenza: b = S_xy/S_xx
Intercetta: a = ȳ − b·x̄
Correlazione: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Residuo: e = y − ŷ

2Esercizi

1.Statistica descrittivaMedia

Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 10, 15, 25, 26, 43, 55.

n = 6

s =

2.Statistica descrittivaDifficile

Una grandezza ha distribuzione normale con media 60 e deviazione standard 10. Quale proporzione P dei valori è superiore a 52?

μ = 60σ = 10x = 52

P =

3.ProbabilitàMedia

Un sacchetto contiene 6 palline rosse e 8 blu. Ne estrai due senza rimettere la prima. Qual è la probabilità P che siano entrambe rosse?

6 / 8

P =

4.ProbabilitàDifficile

X ha la distribuzione mostrata e Y = −2X + 1. Trova la deviazione standard σ_Y di Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = −2X + 1

σ_Y =

5.Distribuzione normaleMedia

Supponi che le durate delle batterie abbiano una distribuzione normale con media 500 h e deviazione standard 40 h. Quale frazione è compresa tra 440 e 550 h? Dai P come numero decimale.

μ = 500σ = 40x₁ = 440x₂ = 550

P =

6.Distribuzione normaleDifficile

Supponi che i punteggi del QI abbiano una distribuzione normale con media 100 punti e deviazione standard 15 punti. Trova il valore x sotto il quale si trova il 99 % dei dati (il 99° percentile).

μ = 100σ = 15P = 99%

x = punti

7.Intervalli di confidenzaMedia

Si confronta la durata della batteria di due modelli di telefono. Modello 1: 50 telefoni, media 96 h, deviazione standard nota 20 h. Modello 2: 50 telefoni, media 102 h, deviazione standard nota 12 h. Trova il limite inferiore dell’intervallo di confidenza al 99% per μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 96 hσ₁ = 20 hn₂ = 50x̄₂ = 102 hσ₂ = 12 h99%

limite inferiore = h

8.Intervalli di confidenzaDifficile

I diametri di 16 alberi lavorati alla macchina hanno una deviazione standard campionaria di 8,6 µm. Supponendo che i diametri siano distribuiti normalmente, trova il limite superiore σ dell’intervallo di confidenza al 95% per la deviazione standard della popolazione. Con df = 15, il 2,5% della distribuzione χ² si trova sotto 6,262 e il 2,5% sopra 27,488.

n = 16s = 8,6 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia

Un campione di 36 studenti ha un punteggio medio di 48,27 e una deviazione standard campionaria di 4. Trova la statistica test t per H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 48,27s = 4n = 36

t =

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile

In una sperimentazione, 16 pazienti su 80 con il trattamento A guariscono, e 81 su 300 con il trattamento B. Usando la proporzione combinata, trova la statistica test z per H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 16n₁ = 80x₂ = 81n₂ = 300

z =

11.Regressione lineare e correlazioneMedia

La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Le loro somme sono date. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r a partire da queste somme.

n = 6Σx = 114Σy = 262Σx² = 2236Σy² = 12044Σxy = 5172

r =

12.Regressione lineare e correlazioneDifficile

La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = spesa pubblicitaria in k€ e y = vendite in k€. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 55?

n = 5ŷ = 55

x =

3Soluzioni

1.Statistica descrittiva

Risposta: s = 17,05

Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.

Media

x̄ = 174/6 = 29

Scarti al quadrato

Σ(x − x̄)² = (−19)² + (−14)² + (−4)² + (−3)² + 14² + 26² = 1454

Deviazione standard

s = √(1454/5) = 17,05

Risposta

s = 17,05

2.Statistica descrittiva

Risposta: P = 0,7881

Standardizza

z = −0,8

Tavola della normale standard

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Risposta

P = 0,7881

3.Probabilità

Risposta: P = 0,1648

Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Prima e seconda estrazione

P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0,1648

Risposta

P = 0,1648

4.Probabilità

Risposta: σ_Y = 1,609

Variabili aleatorie discrete: una distribuzione di probabilità elenca ogni valore x che una variabile può assumere con la sua probabilità p(x); le probabilità sono comprese tra 0 e 1 e sommano a 1. Il valore atteso (media) è E(X) = Σx·p(x), la media a lungo termine. La varianza è Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e la deviazione standard è σ = √Var(X). Per una trasformazione lineare Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; aggiungere una costante non cambia la dispersione.

Dispersione di X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Trasformazione lineare

σ_Y = |−2|·0,8047 = 1,609

Risposta

σ_Y = 1,609

La media invece si sposta: E(Y) = −2·1,05 + 1 = −1,1.

5.Distribuzione normale

Risposta: P = 0,8275

Distribuzione normale: trasforma un valore x in un punteggio z, z = (x − μ)/σ, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova. Una tavola z (o Φ(z)) dà l’area a sinistra di z, cioè P(X < x). L’area a destra è 1 − Φ(z), e l’area tra due valori è la differenza delle loro due aree.

Punteggi z

z₁ = (440 − 500)/40 = −1,5

z₂ = (550 − 500)/40 = 1,25

Area compresa

P = Φ(1,25) − Φ(−1,5) = 0,8944 − 0,06681 = 0,8275

Risposta

P = 0,8275

6.Distribuzione normale

Risposta: x = 134,9 punti

z del percentile

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Ritorno a x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 punti

Risposta

x = 134,89 punti

7.Intervalli di confidenza

Risposta: limite inferiore = −14,5 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Stima puntuale

x̄₁ − x̄₂ = 96 − 102 = −6

Errore standard

SE = √(20²/50 + 12²/50) = 3,298

Margine di errore

E = 2,576·3,298 = 8,497

Intervallo

−6 ± 8,497 → [−14,5, 2,497]

Risposta

limite inferiore = −14,5 h

L’intervallo contiene 0, quindi i dati non mostrano una differenza significativa.

8.Intervalli di confidenza

Risposta: σ = 13,31 µm

Intervallo per una varianza: (n − 1)s²/σ² ha una distribuzione χ² con n − 1 gradi di libertà. L’intervallo al 95% per σ² va da (n − 1)s² diviso il valore χ² superiore (2,5% al di sopra) a (n − 1)s² diviso il valore χ² inferiore (2,5% al di sotto); l’intervallo per σ è la radice quadrata di entrambi i limiti. Non è simmetrico rispetto a s.

Somma dei quadrati

(n − 1)s² = 15·8,6² = 1109

Limiti per σ²

1109/27,488 = 40,36

1109/6,262 = 177,2

Limite per σ

σ = √177,2 = 13,31 µm

Risposta

σ = 13,31 µm

Intervallo al 95% per σ: [6,353, 13,31] µm.

9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: t = −2,595

Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).

Errore standard

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Statistica test

t = (48,27 − 50)/0,6667 = −2,595

Risposta

t = −2,595

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza

Risposta: z = −1,276

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Proporzioni campionarie

p̂₁ = 16/80 = 0,2

p̂₂ = 81/300 = 0,27

p̂ = 97/380 = 0,2553

Errore standard sotto H₀

SE = √(0,2553·0,7447·(1/80 + 1/300)) = 0,05486

Statistica test

z = (0,2 − 0,27)/0,05486 = −1,276

Risposta

z = −1,276

|z| < 1.96, quindi H₀ non viene rifiutata al livello del 5% (bilaterale).

11.Regressione lineare e correlazione

Risposta: r = 0,944

Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.

Somme centrate

S_xy = 5172 − 114·262/6 = 194

S_xx = 2236 − 114²/6 = 70

S_yy = 12044 − 262²/6 = 603,3

Coefficiente di correlazione

r = 194/√(70·603,3) = 0,944

Risposta

r = 0,944

12.Regressione lineare e correlazione

Risposta: x = 5,545

Medie

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 266/5 = 53,2

Somme dei quadrati e dei prodotti

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 33

Retta di regressione

b = 33/10 = 3,3

a = 53,2 − 3,3·5 = 36,7

ŷ = 36,7 + 3,3·x

Risolvi per x

x = (55 − 36,7)/3,3 = 5,545

Risposta

x = 5,545

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