Statistica descrittiva
- Media
- x̄ = Σx/n
- Deviazione standard campionaria
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valore centrale dei dati ordinati
- Punteggio z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuzione normale
- 68% entro ±1σ, 95% entro ±2σ
Statistica: pacchetto last-minute
Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 12 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.
1Formule e metodi
Probabilità
- Complementare
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regola della somma
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventi indipendenti
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilità condizionata
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomiale
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuzione normale
- Punteggio z
- z = (x − μ)/σ
- Sotto x
- P(X < x) = Φ(z)
- Sopra x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Tra due valori
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentile
- x = μ + z·σ
Metodo
- Converti il valore in un punteggio z: z = (x − μ)/σ.
- Cerca Φ(z), l’area a sinistra di z.
- Per l’area a destra usa 1 − Φ(z); per un intervallo sottrai le due aree a sinistra.
- Per un percentile procedi a ritroso: trova z per l’area, poi x = μ + z·σ.
Intervalli di confidenza
- σ nota
- x̄ ± z·σ/√n
- σ incognita
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z critico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Numerosità campionaria
- n = (z·σ/E)², rounded up
Metodo
- Scegli tra z (σ della popolazione nota) e t (solo la s del campione, con n − 1 gradi di libertà).
- Trova il valore critico per il livello di confidenza.
- Margine di errore: E = valore critico × deviazione standard/√n.
- Intervallo: x̄ ± E.
Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
- Test z per una media
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Test t per una media
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilaterale al 5%
- rifiuta H0 se |z| > 1,96
- Intervallo di confidenza
- x̄ ± z·σ/√n
Metodo
- Formula H₀ e H₁ e stabilisci se il test è unilaterale o bilaterale.
- Calcola la statistica test: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oppure con s e t.
- Confrontala con il valore critico, oppure trova il p-value.
- Rifiuta H₀ se la statistica supera il valore critico (p inferiore ad α) ed esprimi la conclusione a parole.
Regressione lineare e correlazione
- Somme dei quadrati
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Pendenza
- b = Sxy/Sxx
- Intercetta
- a = ȳ − b·x̄
- Correlazione
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Residuo
- e = y − ŷ
2Esercizi
1.Statistica descrittivaMedia
Trova la deviazione standard campionaria s dei dati: 15, 47, 31, 12, 35.
n = 5
s =
2.Statistica descrittivaDifficile
Una grandezza ha distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 8. Quale proporzione P dei valori è superiore a 42?
μ = 50σ = 8x = 42
P =
3.ProbabilitàMedia
In quanti modi N si può scegliere un comitato di 5 persone da un gruppo di 15? L'ordine non conta.
n = 15k = 5
N =
4.ProbabilitàDifficile
Un test ha 12 domande a risposta multipla. Una studentessa che tira a indovinare risponde correttamente a ciascuna con probabilità 0,1, in modo indipendente. Qual è la probabilità P di avere esattamente 5 risposte corrette?
n = 12p = 0,1k = 5
P =
5.Distribuzione normaleMedia
Le masse di passeggeri con bagaglio sono indipendenti e normali con media 85 kg e deviazione standard 12 kg. Trova la probabilità P che la massa totale di 12 di essi superi 999,2 kg. Arrotonda z a due decimali.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 999,2 kg
P =
6.Distribuzione normaleDifficile
I diametri D dei fori sono normali con media 25,03 mm e deviazione standard 0,02 mm. I diametri d degli alberi sono indipendenti e normali con media 25 mm e deviazione standard 0,01 mm. Un albero scelto a caso si accoppia quando D − d > 0. Trova la probabilità P che si accoppi. Arrotonda z a due decimali.
foro: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmalbero: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Intervalli di confidenzaMedia
Un campione di 8 elementi ha media 118 e deviazione standard s = 15. La popolazione è approssimativamente normale. Trova il limite superiore dell’intervallo di confidenza al 99 % per la media.
n = 8x̄ = 118s = 1599%t(7) = 3,499
limite superiore =
8.Intervalli di confidenzaDifficile
La deviazione standard della popolazione è 29. Quanto deve essere grande il campione n perché un intervallo di confidenza al 99 % per la media abbia un margine di errore non superiore a 1?
σ = 29E = 199%
n =
9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaMedia
Si afferma che la media di una popolazione sia 500; la deviazione standard della popolazione è nota e vale 15. Un campione casuale di 100 osservazioni ha media 503,48. Verifica H₀: μ = 500 contro H₁: μ > 500. Trova il p-value p.
μ₀ = 500σ = 15n = 100x̄ = 503,48H₁: μ > μ₀
p =
10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenzaDifficile
Un campione di 81 misure ha media 101,1. La deviazione standard della popolazione è 20. Trova il limite superiore U dell'intervallo di confidenza al 90 % per la media.
x̄ = 101,1σ = 20n = 8190%
U =
11.Regressione lineare e correlazioneMedia
La tabella riporta 6 osservazioni appaiate di x = ore di studio e y = voto all’esame. Trova il coefficiente di correlazione di Pearson r.
n = 6
r =
12.Regressione lineare e correlazioneDifficile
La tabella riporta 5 osservazioni appaiate di x = temperatura in °C e y = gelati venduti. Usa la retta dei minimi quadrati ŷ = a + b·x. Per quale valore x la retta prevede ŷ = 60?
n = 5ŷ = 60
x =
3Soluzioni
1.Statistica descrittiva
Risposta: s = 14,53
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Media
x̄ = 140/5 = 28
Scarti al quadrato
Σ(x − x̄)² = (−13)² + 19² + 3² + (−16)² + 7² = 844
Deviazione standard
s = √(844/4) = 14,53
Risposta
s = 14,53
2.Statistica descrittiva
Risposta: P = 0,8413
Statistica descrittiva: la media è la somma divisa per n; la mediana è il valore centrale dei dati ordinati (la media dei due centrali se n è pari). La deviazione standard campionaria è s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Un punteggio z = (x − μ)/σ dice a quante deviazioni standard dalla media si trova un valore.
Standardizza
z = −1
Tavola della normale standard
Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413
Risposta
P = 0,8413
3.Probabilità
Risposta: N = 3003
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinazioni
C(15, 5) = (15·14·13·12·11)/(5·4·3·2·1) = 3003
Risposta
N = 3003
4.Probabilità
Risposta: P = 0,003788
Probabilità: con esiti equiprobabili, P(A) = casi favorevoli/casi possibili. Per eventi indipendenti si moltiplica: P(A e B) = P(A)·P(B). Il complementare aiuta spesso: P(almeno uno) = 1 − P(nessuno). Binomiale: in n prove indipendenti con probabilità di successo p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomiale
P(X = 5) = 792·0,15·0,97 = 792·1 × 10⁻⁵·0,4783 = 0,003788
Risposta
P = 0,003788
5.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,6915
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione del totale
μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41,57 kg
Standardizza
z = (999,2 − 1020)/41,57 = −0,5
Probabilità
P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915
Risposta
P = 0,6915
6.Distribuzione normale
Risposta: P = 0,9099
Somme e differenze di variabili normali: se X e Y sono indipendenti e normali, anche X + Y e X − Y sono normali. Le medie si sommano o si sottraggono: E(X ± Y) = μX ± μY. Le varianze si sommano sempre, anche per una differenza: Var(X ± Y) = σX² + σY², quindi σ = √(σX² + σY²). Le deviazioni standard non si sommano mai direttamente. Il totale di n elementi indipendenti con la stessa distribuzione ha media n·μ e deviazione standard σ·√n. Poi standardizza come al solito: z = (x − media)/σ e leggi Φ(z).
Distribuzione della differenza
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm
Standardizza
z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34
Probabilità
P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099
Risposta
P = 0,9099
7.Intervalli di confidenza
Risposta: limite superiore = 136,6
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Valore critico
df = n − 1 = 7, t = 3,499
Margine di errore
E = 3,499·15/√8 = 18,56
Intervallo
118 ± 18,56 → [99,44, 136,6]
Risposta
limite superiore = 136,6
8.Intervalli di confidenza
Risposta: n = 5581
Intervallo di confidenza per una media: x̄ ± margine di errore. Con σ della popolazione nota il margine è z·σ/√n; se hai solo la deviazione standard campionaria s, usa t con n − 1 gradi di libertà: t·s/√n. Valori critici: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Per ottenere un margine pari a E o inferiore serve n ≥ (z·σ/E)², arrotondato per eccesso.
Ricava n
n = (2,576·29/1)² = 5581
Arrotonda per eccesso
La numerosità campionaria è un numero intero, e arrotondare per difetto renderebbe il margine troppo grande.
n = 5581
Risposta
n = 5581
9.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: p = 0,01017
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistica test
SE = σ/√n = 15/√100 = 1,5
z = (503,48 − 500)/1,5 = 2,32
Area della coda
Φ(2,32) = 0,9898
1 − Φ(2,32) = 0,0102
p-value
p = 0,01017
Risposta
p = 0,01017
p ≤ 0,05, quindi H₀ viene rifiutata al livello del 5%.
10.Test d'ipotesi e intervalli di confidenza
Risposta: U = 104,8
Test su una media: la statistica test misura a quanti errori standard la media campionaria si trova dal valore dichiarato in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) se σ è nota, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) se viene stimata dal campione. Un intervallo di confidenza è x̄ ± (valore critico)·(errore standard).
Margine di errore
E = 1,645·20/√81 = 3,656
Limite dell'intervallo
U = 101,1 + 3,656 = 104,8
Risposta
U = 104,8
11.Regressione lineare e correlazione
Risposta: r = 0,9654
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 435/6 = 72,5
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 79,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 387,5
Coefficiente di correlazione
r = 79,5/√(17,5·387,5) = 0,9654
Risposta
r = 0,9654
12.Regressione lineare e correlazione
Risposta: x = 18,91
Regressione ai minimi quadrati: con x̄ e ȳ le medie, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), la retta ŷ = a + b·x ha pendenza b = Sxy/Sxx e intercetta a = ȳ − b·x̄, quindi passa sempre per (x̄, ȳ). Il coefficiente di correlazione di Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) è compreso tra −1 e 1; r² è la frazione della variabilità di y spiegata dalla retta.
Medie
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 358/5 = 71,6
Somme dei quadrati e dei prodotti
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150
Retta di regressione
b = 150/40 = 3,75
a = 71,6 − 3,75·22 = −10,9
ŷ = −10,9 + 3,75·x
Risolvi per x
x = (60 − (−10,9))/3,75 = 18,91
Risposta
x = 18,91
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